So wählen Sie zwischen Bézier- und B-Spline-Kurven für lokale Formanpassungen

Bevor Sie eine Kurve auswählen, benennen Sie sowohl die gewünschte Änderung als auch die Grenze, die sie einhalten muss. „Die Wange runder machen und dabei den Ohransatz und das Kinn unverändert lassen“ ist eine hilfreiche Vorgabe. „Die Kontur verbessern“ lässt zu viel offen.

Es gibt zwei Maßstäbe für Lokalität. Mathematische Lokalität beschreibt, welcher Teil einer Kurve auf einen Kontrollpunkt reagieren kann. Praktische Lokalität fragt, ob der beeinflusste Bereich zum Merkmal Ihrer Figur passt. Eine mathematisch lokale Bearbeitung kann dennoch über eine kleine Wange hinaus in benachbarte Merkmale reichen.

Ein einzelnes Bézier-Segment wird innerhalb dieses Segments global gesteuert: Wenn Sie einen Kontrollpunkt verschieben, verändert sich die Form über das Innere des Segments hinweg. B-Splines ermöglichen lokale Änderungen, wobei ein Kontrollpunkt ein begrenztes Parameterintervall beeinflusst. Das ursprüngliche Lehrmaterial der Michigan Technological University veranschaulicht diesen Unterschied unter Modifying Control Points.

Machen Sie aus diesem Unterschied für Ihre Zeichnung eine einfache Vorgabe: Bestimmen Sie den Konturabschnitt, der sich bewegen darf, und prüfen Sie dann, ob der Einfluss des ausgewählten Kontrollpunkts innerhalb dieses Bereichs bleibt.

Die Aussage „Bézier-Kurven bieten keine lokale Kontrolle“ braucht eine Einschränkung: Sie beschreibt ein einzelnes Bézier-Segment. Die Kontur einer Figur kann aus mehreren Segmenten bestehen. Die Bearbeitung eines Kontrollpunkts, der zu einem Segment gehört, muss weiter entfernte Segmente nicht verändern, sofern gemeinsame Ankerpunkte und Editor-Einstellungen unverändert bleiben.

Wenn ein langes Segment die Wange und einen großen Teil des Kopfes umfasst, kann sein Bearbeitungsbereich zu groß sein. Durch Unterteilung lässt es sich in kleinere Bézier-Segmente zerlegen, die die ursprüngliche Form wiedergeben. Anschließend können Sie das betreffende Teilstück bearbeiten. Der Unterteilungsprozess und seine Verwendung zum Isolieren eines unbefriedigenden Bereichs werden unter Subdividing a Bézier Curve erläutert.

Für die Arbeit an Figuren ist Bézier daher eine gute Ausgangswahl, wenn Sie um Merkmale herum sinnvolle Grenzen setzen können. Setzen Sie einen Anker am Ohransatz, einen weiteren nahe dem Übergang der Wange und passen Sie das dazwischenliegende Segment an. Betrachten Sie diese Platzierungen als Gestaltungsentscheidungen; wenn Sie überall Anker hinzufügen, wird es schwieriger, die Kontur zu überblicken.

Ein gemeinsamer Ankerpunkt erfordert besondere Sorgfalt. Wenn Sie ihn verschieben, ändert sich der Treffpunkt benachbarter Segmente. Selbst wenn der Anker fixiert bleibt, können gekoppelte Griffe das benachbarte Segment verändern, wenn Sie die ausgewählte Seite anpassen.

Bei einem B-Spline sind der Grad und die Anzahl der Kontrollpunkte voneinander unabhängig. Sie können daher eine lange Kontur mit vielen Kontrollpunkten beschreiben und dabei einen niedrigen Polynomgrad beibehalten. Der Knotenvektor unterteilt den Parameterbereich in Abschnitte und trägt dazu bei, den Einfluss der einzelnen Kontrollpunkte zu bestimmen. Diese Eigenschaften sind unter B-spline Curves: Important Properties dokumentiert.

Für einen mit i indizierten Kontrollpunkt und eine Kurve vom Grad p ist das beeinflusste Intervall durch die Knoten uᵢ und uᵢ₊ₚ₊₁ begrenzt. Bei einem kubischen B-Spline umfasst es höchstens vier Abschnitte mit positiver Länge. Diese Abschnitte sind Parameterintervalle und müssen daher nicht gleich langen Strecken auf der sichtbaren Kontur entsprechen. Die Stützregel wird unter B-spline Curves: Moving Control Points hergeleitet.

Betrachten Sie dieses veranschaulichende Beispiel: Eine kubische Kurve hat den Knotenvektor 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5. Wenn der Kontrollpunkt P₃ bei nullbasierter Indizierung verschoben wird, kann dies die Kurve zwischen den Parameterwerten 0 und 4 beeinflussen. Der Einfluss ist begrenzt, umfasst aber vier der fünf Abschnitte mit positiver Länge. Selbst bei einer kleinen Kurve können sich Bearbeitungen daher überraschend weitreichend anfühlen.

Wählen Sie B-Spline-Kontrollpunkte, wenn ihr Einfluss bereits zum fließenden Abschnitt passt, den Sie umformen möchten, etwa zu einer langen Schwanzkontur. Wenn jede Anpassung auch ein benachbartes Merkmal stört, das Sie erhalten wollten, verfeinern Sie erst die Kurvendarstellung.

Bei einer segmentierten Bézier-Kontur sollten Sie die Griffe auf beiden Seiten jedes bearbeiteten Übergangs prüfen. Die Tangenten an den Endpunkten einer Bézier-Kurve folgen den ersten und letzten Kanten des Kontrollpolygons. An einem regulären Übergang können kollineare Griffe, die auf gegenüberliegenden Seiten des gemeinsamen Ankerpunkts liegen, für übereinstimmende Tangentenrichtungen sorgen; dies wird G1-Stetigkeit genannt. Übereinstimmende erste Ableitungen, also C1-Stetigkeit, erfordern zusätzlich eine Beziehung zwischen Grifflängen und Segmentgraden. Siehe Derivatives of a Bézier Curve.

Bei der Silhouette einer unbewegten Figur sollten Sie zuerst den sichtbaren Übergang prüfen: Geht die Wange fließend in den Kopf über oder entsteht ein Knick? Die Ausrichtung der Tangenten ist hilfreich, gewährleistet für sich allein aber nicht, dass sich die Krümmung am Übergang gleichmäßig ändert.

Auch die Editor-Einstellungen spielen eine Rolle. Der Inkscape-Leitfaden unterscheidet zwischen Eckknoten mit unabhängigen Griffen, glatten Knoten mit ausgerichteten Griffen, symmetrischen Knoten mit ausgerichteten Griffen gleicher Länge und automatisch glatten Knoten, deren Griffe sich automatisch anpassen. Diese Verhaltensweisen erklären, warum eine scheinbar isolierte Bearbeitung die gegenüberliegende Seite eines Knotens beeinflussen kann. Siehe About Node Types.

Die Glätte eines B-Splines hängt vom Grad und der Vielfachheit der Knoten ab. Ein kubischer Spline mit einfachen inneren Knoten ist C2-stetig; mehrfache Knoten verringern die an dieser Stelle erforderliche Stetigkeit. „B-Spline“ allein gibt folglich nicht an, wie glatt jeder Übergang sein wird. Der Zusammenhang wird unter B-spline Curves: Important Properties erläutert.

Für ein bewusst spitzes Ohr ist eine Bézier-Ecke mit unabhängig gesteuerten Seiten eine leicht zugängliche Option. Für eine durchgehend abgerundete Kontur sollten Sie einen B-Spline in Betracht ziehen, wenn Sie mit seiner Knoten- und Kontrollpunktstruktur den gesamten Übergang bequem formen können.

Verfeinern Sie zuerst, formen Sie danach um. Wenn Sie diese Vorgänge trennen, können Sie erkennen, ob eine unerwartete Änderung durch das Hinzufügen von Kontrollpunkten oder durch deren Verschieben entstanden ist.

Verwenden Sie bei Bézier-Kurven eine formbewahrende Unterteilung an einer geeigneten Stelle. Die daraus entstehenden Teilstücke behalten den ursprünglichen Grad bei und bilden gemeinsam das ursprüngliche Segment exakt ab. Bewahren Sie nach der Unterteilung die Randanker und Tangentenbeziehungen überall dort, wo die umgebende Silhouette fixiert bleiben soll. Subdividing a Bézier Curve beschreibt diese Konstruktion.

Verwenden Sie bei B-Splines eine korrekte Knoteneinfügung, sofern Ihr Editor diese Funktion bietet. Bei der Knoteneinfügung wird ein Knoten hinzugefügt und werden die betreffenden Kontrollpunkte neu berechnet, ohne die Geometrie der Kurve zu verändern. Einen beliebigen Punkt zum Kontrollpolygon hinzuzufügen, ist ein anderer Vorgang. Der Unterschied und die Konstruktion werden unter B-spline Curves: Knot Insertion erläutert.

Vergleichen Sie nach einem der beiden Vorgänge die verfeinerte Kontur mit einer gespeicherten Kopie, bevor Sie ihre Form anpassen. Verschieben Sie anschließend immer nur einen Kontrollpunkt auf einmal. Fügen Sie weitere Details erst hinzu, wenn die aktuelle Darstellung das gewünschte Merkmal innerhalb der von Ihnen festgelegten Grenze nicht erreichen kann.

Verwenden Sie diese Entscheidungshilfe, nachdem Sie den Bereich bestimmt haben, der sich bewegen darf. Es sind praktische Empfehlungen auf Grundlage der zuvor beschriebenen Eigenschaften, keine gemessenen Vergleiche zwischen Anwendungen.

Bearbeitungsanforderung	Ausgangswahl	Was zu prüfen ist
Ein Merkmal zwischen fixierten Orientierungspunkten anpassen	Segmentierter Bézier-Pfad	Segmentgrenzen passen zum Merkmal; gemeinsame Griffe verhalten sich wie gewünscht
Eine lange, fließende Kontur wiederholt umformen	B-Spline	Der Einfluss der Kontrollpunkte passt zum gewünschten Bereich
Einen bewusst gesetzten spitzen Punkt oder eine Ecke erstellen	Bézier-Kurve mit unabhängigen Griffen	Beide Seiten behalten die gewünschte Richtung bei
Eine bereits zufriedenstellende Bézier-Kontur verfeinern	Bézier beibehalten und bei Bedarf unterteilen	Die Unterteilung bewahrt die Ausgangssilhouette
Eine B-Spline-Anpassung gezielter eingrenzen	B-Spline beibehalten und, sofern unterstützt, Knoten einfügen	Die Einfügung bewahrt die Geometrie, bevor Kontrollpunkte verschoben werden

Eine bestehende Kontur sollte bei der Entscheidung Vorrang haben. Wenn ihr Kurventyp die erforderliche Bearbeitung bereits unterstützt, verfeinern Sie sie direkt. Ein Wechsel der Darstellungsform bringt einen zusätzlichen Vorgang mit sich, den es zu beurteilen gilt, und kann bei einer einzelnen Anpassung an Wange oder Ohr wenig Nutzen bringen.

Führen Sie auf einer Kopie der Figurenkontur einen Test der Bearbeitungsgrenze durch. So können Sie die Darstellungsformen konkret vergleichen, ohne sich auf ihre Bezeichnungen zu verlassen.

1. Geben Sie die Änderung an. Verbreitern Sie zum Beispiel die Wange, während Ohransatz und Kinn erhalten bleiben.
2. Markieren Sie den zulässigen Bereich. Bestimmen Sie zwei sichtbare Grenzpunkte rund um das Merkmal.
3. Prüfen Sie die Darstellung. Suchen Sie die Bézier-Segmente oder B-Spline-Kontrollpunkte, die diesen Abschnitt beeinflussen.
4. Nehmen Sie eine kleine Änderung vor. Beobachten Sie sowohl das Zielmerkmal als auch die benachbarte Kontur.
5. Prüfen Sie die Grenze. Wenn die Änderung darüber hinausreicht, überprüfen Sie die Griffkopplung oder verfeinern Sie die Kurve, bevor Sie es erneut versuchen.
6. Prüfen Sie das Ergebnis in Arbeits- und Anzeigegröße. Kontrollieren Sie die Form des Merkmals, seine Übergänge und ob die Anpassung in der vorgesehenen Größe sichtbar bleibt.

Bei einer Wange, die durch geeignete Bézier-Ankerpunkte abgegrenzt ist, kann die Anpassung eines Griffs die Aufgabe mit wenigen Umstrukturierungen abschließen. Bei einer fließenden Kontur, die viele benachbarte Anpassungen erfordert, bieten B-Spline-Kontrollpunkte möglicherweise ein bequemeres Bearbeitungsmuster. Lassen Sie sich bei der Wahl vom zulässigen Bearbeitungsbereich leiten: Behalten Sie die Darstellungsform bei, mit der Sie das Merkmal ausreichend kontrollieren und zugleich die Kontur bewahren können, mit der Sie bereits zufrieden sind.

• Modifying Control Points — Michigan Technological University
• Subdividing a Bézier Curve — Michigan Technological University
• B-spline Curves: Important Properties — Michigan Technological University
• B-spline Curves: Moving Control Points — Michigan Technological University
• Derivatives of a Bézier Curve — Michigan Technological University
• About Node Types — Inkscape Beginners’ Guide
• B-spline Curves: Knot Insertion — Michigan Technological University