So konstruieren Sie eine ausgefüllte Brücke, die zwei Kreise an ihren Rändern berührt
Um eine ausgefüllte Brücke zwischen zwei Kreisen zu konstruieren, bestimmen Sie die vier Punkte, an denen ihre beiden äußeren gemeinsamen Tangenten die Kreise berühren, und verbinden Sie diese Punkte anschließend zu einem geschlossenen Viereck. Vereinigen Sie dieses Viereck mit den Kreisen zu einer durchgehenden Silhouette, oder ziehen Sie Kopien der Kreise ab, um eine separate Brücke mit gekrümmten Enden zu erhalten, die genau an ihre Ränder passen.
Dieses Tutorial verwendet Inkscape, um einen präzisen Verbinder für eine flache Charakterillustration oder eine Illustration eines virtuellen Spielzeugs zu erstellen. Bei der gewählten Konstruktion gehen die geraden Ober- und Unterkanten glatt in die Kreise über. Ein durchgerechnetes Beispiel enthält exakte Koordinaten. Anschließend folgt eine Formel, die Sie für Kreise unterschiedlicher Größe und Position wiederverwenden können.
Wie schließt die Brücke glatt an beide Kreise an?
Eine Brücke kann einen Kreis berühren, ohne glatt in dessen Kontur überzugehen. Beliebige Punkte auf dem Umfang als Eckpunkte zu wählen, stellt zwar den Kontakt her, doch an der Brückenseite kann trotzdem eine sichtbare Ecke entstehen. Für einen glatten Übergang muss diese Seite der Tangente des Kreises am Berührungspunkt folgen.
Bei zwei voneinander getrennten Kreisen verwenden Sie das Paar äußerer gemeinsamer Tangenten: die Geraden, die an der Außenseite beider Kreise entlanglaufen. Jeder Berührungspunkt liegt auf seinem Kreis, und der Radius durch diesen Punkt steht senkrecht auf der Tangente. Dies sind die Bedingungen, die in Wolfram MathWorlds Tangentengleichungen für zwei Kreise ausgedrückt werden.
Die vier Berührungspunkte legen das Konstruktionsviereck fest. Seine beiden langen Seiten bilden die sichtbaren Brückenkanten; seine beiden schließenden Seiten verlaufen durch die Kreise. Diese schließenden Seiten verschwinden, wenn die Formen vereinigt oder die kreisförmigen Überlappungen entfernt werden.
Mit dieser Konstruktion entsteht ein Verbinder mit geraden Seiten. Für einen nach innen gekrümmten, eingeschnürten Verbinder wäre ein anderes Kurvendesign erforderlich; die Tangentialpunkte allein bestimmen diese Form nicht.
Was sollten Sie vor dem Zeichnen vorbereiten?
Beginnen Sie mit zwei vollständigen Kreisen, einer einfarbigen Füllung und ohne Kontur. Verwenden Sie durchgehend dieselbe Maßeinheit. Eine sichtbare Kontur kann die Grenze verdecken, an die Sie anschließen möchten. Fügen Sie daher erst nach dem Erstellen der ausgefüllten Geometrie eine abschließende Kontur hinzu.
Wählen Sie in Inkscape mit E das Ellipsenwerkzeug und halten Sie beim Ziehen Strg gedrückt, um einen Kreis zu erstellen. Für genaue Abmessungen legen Sie in den Werkzeugsteuerungen gleiche Werte für Rx und Ry fest. Wenn ein Objekt ein Bogen oder Segment ist, klicken Sie vor dem Fortfahren auf Ellipse vervollständigen. Diese Steuerungen sind in der Inkscape-Anleitung zu Kreisen, Ellipsen und Bögen dokumentiert.
Öffnen Sie Objekt → Füllung und Kontur. Legen Sie eine einfarbige Füllung fest und wählen Sie unter „Konturfarbe“ das kreuzförmige Steuerelement Keine Farbe. Lassen Sie die Deckkraft während der Prüfung der Konstruktion bei 100 %. Diese Einstellungen finden Sie unter Das Dialogfeld „Füllung und Kontur“.
Legen Sie eine Ersatzkopie der beiden Originalkreise außerhalb des Arbeitsbereichs ab. Der abschließende boolesche Vorgang verändert die Konstruktion, und mit den Originalen lassen sich spätere Anpassungen leichter vornehmen.
Wie erstellen Sie anhand von Beispielkoordinaten eine exakte Brücke?
Verwenden Sie die folgenden beispielhaften Abmessungen. Sie erzeugen bewusst einen stark verjüngten Verbinder, damit sich die Kontaktgeometrie leicht prüfen lässt. Die Koordinaten sind in Pixeln angegeben; x nimmt nach rechts und y nach unten zu.
| Objekt | Mittelpunkt | Radius | Begrenzungsrahmen |
|---|---|---|---|
| Kreis A | (100, 100) | 70 | x = 30–170; y = 30–170 |
| Kreis B | (200, 100) | 10 | x = 190–210; y = 90–110 |
Die Mittelpunkte liegen 100 Einheiten auseinander. Zieht man die Radien ab, bleibt zwischen den nächstgelegenen Kreisrändern ein Abstand von 20 Einheiten. Die Brücke muss diesen Abstand überbrücken und zugleich glatt in die Kreisumrisse übergehen.
Für diese Kreise lauten die vier Tangentialpunkte:
| Punkt | Position | Koordinaten |
|---|---|---|
| A oben | Oberer Berührungspunkt an Kreis A | (142, 44) |
| B oben | Oberer Berührungspunkt an Kreis B | (206, 92) |
| B unten | Unterer Berührungspunkt an Kreis B | (206, 108) |
| A unten | Unterer Berührungspunkt an Kreis A | (142, 156) |
Wählen Sie das Bézier-/Zeichenstiftwerkzeug und erstellen Sie einen Pfad mit vier Eckpunkten in der Tabellenreihenfolge. Klicken Sie auf jeden Eckpunkt, ohne zu ziehen, und klicken Sie dann auf den Startpunkt, um den Pfad zu schließen. Füllen Sie ihn mit derselben einfarbigen Füllung wie die Kreise und entfernen Sie seine Kontur.
Zeichnen Sie das Viereck zunächst ungefähr an die richtige Stelle, um es exakt zu platzieren. Wechseln Sie mit N zum Knotenwerkzeug, wählen Sie jeweils einen Knoten aus und geben Sie seine x- und y-Koordinaten in den Werkzeugsteuerungen ein. Stellen Sie die Koordinateneinheit auf Pixel ein. Inkscape dokumentiert diese Zahlenfelder unter Optionen des Knotenwerkzeugs.
Folgen Sie beim Verbinden der Punkte dem Umfang: A oben → B oben → B unten → A unten → schließen. Wenn Sie die Form diagonal durchqueren, entsteht ein sich kreuzender Pfad statt der vorgesehenen ausgefüllten Brücke.
Diese Beispielkoordinaten wurden anhand einer deterministischen Berechnung geprüft: Jeder Berührungspunkt hat den korrekten Abstand zum Mittelpunkt seines Kreises, und jede lange Brückenkante steht senkrecht auf den jeweiligen Berührungsradien.
Sollten Sie die Brücke vereinigen oder separat belassen?
Wählen Sie die endgültige Struktur danach, wie Sie die Figur bearbeiten oder einfärben möchten.
| Gewünschtes Ergebnis | Konstruktion |
|---|---|
| Eine durchgehende, einfarbige Silhouette | Beide Kreise und das Viereck vereinigen |
| Eine separat eingefärbte Brücke, die an den Kreisen endet | Kreiskopien vom Viereck abziehen |
| Eine bearbeitbare Konstruktion für spätere Anpassungen | Die Originalkreise und das Viereck vor einem der beiden Vorgänge beibehalten |
Für eine einzelne Silhouette wählen Sie beide Kreise und das Viereck aus und klicken Sie dann auf Pfad → Vereinigung. Für eine separate Brücke duplizieren Sie die Kreise, vereinigen die Duplikate zu einem einzigen Schneideobjekt und legen dieses über das Viereck. Wählen Sie das Schneideobjekt und das Viereck aus und klicken Sie dann auf Pfad → Differenz. Lassen Sie die Originalkreise außerhalb dieser Auswahl.
Bei der Differenz werden die überlappenden kreisförmigen Bereiche entfernt. Dadurch bleiben gekrümmte Brückenenden zurück, die den einander zugewandten Kreisrändern folgen. Bei der Vereinigung bleibt der gesamte ausgefüllte Umriss erhalten. Diese Vorgänge und die Bedeutung der Stapelreihenfolge werden in der Inkscape-Anleitung zu booleschen Operationen erklärt.
Die geraden schließenden Seiten des Vierecks sind Konstruktionskanten. Wenn Sie das unbearbeitete Viereck in einer anderen Farbe sichtbar lassen, werden diese Sehnen im Inneren der Kreise sichtbar. Verwenden Sie das Verfahren mit der Differenz, wenn die Brücke eine eigene Farbe erhalten und genau an den Kreisumfängen enden soll.
Wie berechnen Sie die Berührungspunkte für andere Kreise?
Die folgende Formel ist eine abgeleitete Entscheidungshilfe, die auf den Bedingungen für Radiuslänge und Senkrechtstellung in MathWorlds Tangentengleichungen beruht. Sie funktioniert für beliebig angeordnete Kreise; eine horizontale Ausrichtung ist nicht erforderlich.
Seien die Mittelpunkte A = (ax, ay) und B = (bx, by), mit positiven Radien rA und rB. Berechnen Sie zuerst den Mittelpunktabstand und einen Einheitsvektor von A nach B:
d = sqrt((bx − ax)² + (by − ay)²)
u = (ux, uy) = ((bx − ax) / d, (by − ay) / d)
Bilden Sie einen senkrechten Einheitsvektor v = (−uy, ux). Berechnen Sie dann:
q = (rA − rB) / d
s = sqrt(1 − q²)
n₁ = q·u + s·v
n₂ = q·u − s·v
Bei der Vektormultiplikation wird jede Komponente mit dem Skalar multipliziert. Jeder Vektor n weist vom Mittelpunkt in Richtung eines Tangentialpunkts. Die vier Punkte sind:
- A₁ = A + rA·n₁
- B₁ = B + rB·n₁
- A₂ = A + rA·n₂
- B₂ = B + rB·n₂
Zeichnen Sie den Umfang A₁ → B₁ → B₂ → A₂ → schließen. Je nach Anordnung der Kreise und Koordinatenorientierung kann jede der beiden Normalen die obere Seite darstellen.
Für das durchgerechnete Beispiel gilt u = (1, 0), q = 0.6 und s = 0.8. Die beiden Normalen sind (0.6, 0.8) und (0.6, −0.8). Multiplizieren Sie sie mit den jeweiligen Radien und addieren Sie den entsprechenden Mittelpunkt, um die zuvor aufgeführten vier Koordinaten zu erhalten.
Die Konstruktion folgt direkt aus diesen Vektoren: Jede Normale hat die Länge eins, wodurch ihr Berührungspunkt auf dem Kreis liegt. Ihr Skalarprodukt mit der Strecke zwischen den zugehörigen Berührungspunkten ist null, wodurch die Tangentialität sichergestellt wird. Bei gleichen Radien ist q = 0, sodass die Brückenseiten parallel zur Verbindungslinie der Mittelpunkte verlaufen.
Wann muss diese Konstruktion angepasst werden?
Für die Konstruktion mit getrennten Kreisen muss d > rA + rB gelten. So bleibt ein echter Zwischenraum, den die Brücke füllen kann. Wenn sich die Kreise bereits überlappen, kann ihre Vereinigung trotzdem sinnvoll sein, doch dann geht es um ein anderes Formproblem.
Für zwei unterschiedliche äußere Tangentenseiten muss in der Formel d > |rA − rB| gelten. Bei Gleichheit fällt die Tangentenkonstruktion in sich zusammen. Unterhalb dieser Grenze liegt ein Kreis innerhalb des anderen, und die Quadratwurzel hat keinen reellen Wert. Bei zusammenfallenden Mittelpunkten ist auch die Berechnung des Einheitsvektors nicht definiert. Diese Grenzen ergeben sich aus der obigen Formel.
Berechnen Sie die Berührungspunkte neu, sobald Sie einen der Kreise verschieben oder in der Größe ändern. Wenn Sie einen Brückeneckpunkt nach Augenmaß verschieben, kann der Kontakt erhalten bleiben, während die Tangentialität verloren geht. Wird ein Kreis zu einer Ellipse gestreckt, ändert sich ebenfalls die Geometrie; diese nur für Kreise geltende Formel ist dann nicht mehr anwendbar.
Wie prüfen Sie den fertigen Anschluss?
Prüfen Sie das Ergebnis sowohl bei starker Vergrößerung als auch in der vorgesehenen Anzeigegröße. Gehen Sie wie folgt vor, um die Ursache eines sichtbaren Fehlers zu ermitteln:
- Füllung prüfen. Vergewissern Sie sich, dass das Viereck geschlossen und gefüllt ist und keine sich kreuzenden Segmente enthält.
- Kreisgeometrie prüfen. Vergleichen Sie Mittelpunkte, Radien und Koordinateneinheiten mit der Berechnung.
- Die vier Berührungspunkte prüfen. Korrigieren Sie die Knotenkoordinaten, bevor Sie Kurvengriffe ändern.
- Endgültige Struktur prüfen. Vergewissern Sie sich, dass die Vereinigung oder Differenz die gewünschte Silhouette oder separate Brücke ergeben hat.
- Kontur prüfen. Fügen Sie der fertigen Silhouette eine Kontur hinzu, falls das Design eine vorsieht. Prüfen Sie separat konturierte Teile auf unerwünschte innere Begrenzungslinien.
Messen Sie zur numerischen Überprüfung den Abstand jedes Berührungspunkts zum Mittelpunkt seines Kreises: Er sollte dem Radius dieses Kreises entsprechen. Prüfen Sie anschließend, ob jede sichtbare Brückenseite senkrecht auf ihren Berührungsradien steht. Mit diesen Tests lässt sich ein korrekter Anschluss von einem unterscheiden, der nur ausgerichtet aussieht.
Sobald die Berührungspunkte stimmen, müssen Sie nur noch entscheiden, wie die Illustration aufgebaut sein soll: als vereinheitlichte Silhouette oder aus separaten ausgefüllten Teilen. Bewahren Sie die Ausgangskreise und die berechneten Punkte auf, dann können Sie dieselbe passgenaue Brücke jederzeit neu erstellen, wenn sich die Proportionen der Figur ändern.