如何構造一個在兩個圓的邊緣相接的實心橋接形狀
若要在兩個圓之間構造實心橋接形狀，先找出兩條外公切線與圓相切的四個點，再將這些點連成封閉四邊形。將四邊形與圓合併，形成一個連續的剪影；或者扣除圓的副本，留下兩端彎曲、貼合圓周邊緣的獨立橋接形狀。
本教學使用 Inkscape，為扁平風格角色或虛擬寵物插圖製作精確的連接部分。這種構造的上下兩邊為直線，並能平順地銜接圓形。範例提供精確座標，後續也會說明可套用於不同圓形尺寸與位置的公式。
怎樣才能讓橋接形狀與兩個圓平順銜接？
橋接形狀可以接觸圓形，卻未必能與圓形輪廓平順連接。只要將角放在圓周上，就能形成接觸，但橋接形狀的邊仍可能產生明顯的轉角。要平順銜接，該邊必須沿著接觸點處的圓形切線延伸。
對於兩個分離的圓，請使用一對外公切線：也就是沿著兩個圓外側延伸的直線。每個切點都位於圓上，而通過該點的半徑與切線垂直。這些條件以 Wolfram MathWorld 的圓與圓切線方程式 表示。
四個切點決定構造四邊形。兩條長邊會成為橋接形狀外露的邊；另外兩條封口邊則穿過圓形。合併形狀或移除圓形重疊部分後，這兩條封口邊便會消失。
這種構造會產生具有直邊的連接部分。若要製作向內彎曲、收窄的連接部分，則需採用不同的曲線設計；光靠切點無法決定這種形狀。
繪製前需要準備什麼？
先準備兩個完整的圓、純色填滿，並停用描邊。全程使用同一種座標單位。可見的描邊可能會遮住需要對齊的邊界，因此請在完成填色幾何形狀後再加上最終外框。
在 Inkscape 中，按 E 選取橢圓工具，拖曳時按住 Ctrl 即可建立圓形。如需精確尺寸，請在工具控制列中設定相同的 Rx 與 Ry 值。如果物件是弧形或扇形，請先使用 Make ellipse whole，再繼續操作。這些控制項詳見 Inkscape 的圓形、橢圓與弧線指南。
開啟 物件 → 填充與描邊。設定純色填充，並在「描邊顏料」下方選取十字形的 無顏料 控制項。檢查構造時，請將不透明度保持在 100%。相關設定請參閱填充與描邊對話方塊。
在工作區外保留兩個原始圓形的備份。最後的布林運算會改變構造，保留原始圓形可讓後續調整更容易。
如何利用範例座標精確建立橋接形狀？
請使用以下示範尺寸。這些尺寸刻意設定成兩端明顯收窄的連接部分，方便檢視接觸幾何形狀。座標單位為像素，x 軸向右增加，y 軸向下增加。
| 物件 | 中心 | 半徑 | 外接框 |
|---|---|---|---|
| 圓形 A | (100, 100) | 70 | x = 30–170；y = 30–170 |
| 圓形 B | (200, 100) | 10 | x = 190–210；y = 90–110 |
兩個圓心相距 100 個單位。相減兩個半徑後，最近的圓邊之間還有 20 個單位的間距。橋接形狀必須跨越這段間距，同時平順地延續圓形輪廓。
這兩個圓的四個切點如下：
| 點 | 位置 | 座標 |
|---|---|---|
| A 上 | 圓形 A 上方的切點 | (142, 44) |
| B 上 | 圓形 B 上方的切點 | (206, 92) |
| B 下 | 圓形 B 下方的切點 | (206, 108) |
| A 下 | 圓形 A 下方的切點 | (142, 156) |
選取貝茲／鋼筆工具，依照表格順序建立一條有四個角的路徑。依序點選每個角，不要拖曳，然後點選起點以封閉路徑。將填充設為與圓形相同的純色，並移除描邊。
若要精確定位，先大致畫出四邊形。按 N 切換到節點工具，逐一選取節點，並在工具控制列中輸入其 x、y 座標。將座標單位設為像素。Inkscape 在節點工具選項中說明了這些數值欄位。
依照周邊順序連接各點：A 上 → B 上 → B 下 → A 下 → 封閉路徑。若沿對角線連接，路徑就會交叉，而非形成預期的實心橋接形狀。
這些範例座標經過確定性計算驗證：每個切點到其圓心的距離都正確，而橋接形狀的每條長邊都垂直於對應的切點半徑。
應該合併橋接形狀，還是讓它保持獨立？
根據你想如何編輯角色或為角色上色，選擇最終結構。
| 預期結果 | 構造方式 |
|---|---|
| 單一色彩、連續的剪影 | 將兩個圓與四邊形合併 |
| 顏色獨立、止於圓形邊緣的橋接形狀 | 從四邊形扣除圓形副本 |
| 方便日後調整的可編輯構造 | 在執行任一操作前保留原始圓形與四邊形 |
若要製作單一剪影，請選取兩個圓與四邊形，然後選擇 路徑 → 聯集。若要保留獨立的橋接形狀，請複製圓形，將副本合併成一個切割物件，並將該物件置於四邊形上方。選取切割物件與四邊形，然後選擇 路徑 → 差集。請勿將原始圓形一併選入。
差集會移除圓形重疊的區域，留下沿著相對圓形邊界延伸的彎曲橋接端。聯集則會保留整體填滿的輪廓。這些操作以及物件堆疊順序的重要性，詳見 Inkscape 的布林運算指南。
四邊形的直線封口邊是構造用的邊。若讓未裁切的四邊形以不同顏色顯示，這些弦線就會出現在圓形內部。若橋接形狀需要使用獨立顏色，並且必須精確地止於圓周，請使用差集流程。
如何計算其他圓形的切點？
以下公式是根據 MathWorld 的切線方程式 中的半徑長度與垂直條件推導出的判斷輔助方法。它適用於任意位置的圓形，因此不必水平對齊。
設圓心為 A = (ax, ay) 和 B = (bx, by)，半徑分別為正值 rA 和 rB。先計算圓心距離，以及從 A 指向 B 的單位向量：
d = sqrt((bx − ax)² + (by − ay)²)
u = (ux, uy) = ((bx − ax) / d, (by − ay) / d)
構造一個垂直單位向量 v = (−uy, ux)。接著計算：
q = (rA − rB) / d
s = sqrt(1 − q²)
n₁ = q·u + s·v
n₂ = q·u − s·v
此處的向量乘法是指將每個分量乘以純量。每個向量 n 都從圓心指向切點。四個切點如下：
- A₁ = A + rA·n₁
- B₁ = B + rB·n₁
- A₂ = A + rA·n₂
- B₂ = B + rB·n₂
沿著周邊繪製 A₁ → B₁ → B₂ → A₂ → 封閉路徑。視圓形的排列方式與座標方向而定，任一法向量都可能代表上側。
在示範範例中，u = (1, 0)、q = 0.6，而 s = 0.8。兩個法向量為 (0.6, 0.8) 和 (0.6, −0.8)。將它們分別乘以各自半徑，再加上對應的圓心，即可得到前面列出的四個座標。
這種構造直接遵循上述向量的性質：每個法向量的長度都是 1，因此切點會落在圓上。它與相應切點之間線段的點積為零，因此符合相切條件。若兩個圓半徑相等，則 q = 0，橋接形狀的兩側便會平行於圓心連線。
哪些情況需要調整這種構造？
對於兩個分離圓形之間的橋接任務，必須滿足 d > rA + rB。如此兩圓之間才有真正的間距可供橋接。若兩個圓已經重疊，將它們合併或許仍有用，但那就屬於不同的形狀問題。
若要形成兩條不同的外切線，公式本身要求 d > |rA − rB|。兩者相等時，切線構造會退化。若距離小於該值，則一個圓位於另一個圓內，平方根內的值不是實數。若兩個圓心重合，單位向量的計算也無法定義。這些限制都可由上述公式推得。
只要移動或調整任一圓的大小，就要重新計算切點。用目測移動橋接角點，或許能維持接觸，但可能失去相切條件。同樣地，將圓拉伸成橢圓會改變幾何形狀；這個僅適用於圓形的公式便不再適用。
如何檢查完成後的連接部分？
在近距離放大檢視，以及預定的顯示尺寸下都檢查結果。依照以下順序找出可見瑕疵的原因：
- 檢查填充。 確認四邊形已封閉、已填滿，而且沒有交叉線段。
- 檢查圓形幾何。 對照計算結果，確認圓心、半徑與座標單位正確。
- 檢查四個切點。 先修正節點座標，再調整曲線控制柄。
- 檢查最終結構。 確認聯集或差集產生了預期的剪影或獨立橋接形狀。
- 檢查外框。 若設計需要，請在完成的剪影上加上描邊；若分開描邊各部件，請檢查是否出現多餘的內部邊界。
如需進行數值檢查，請測量每個切點到圓心的距離：它應等於該圓的半徑。接著確認橋接形狀每條外露邊都與其切點半徑垂直。這些檢查有助於區分精確的連接與僅僅看似對齊的連接。
切點確認無誤後，剩下的選擇就是如何組織圖稿：製作一個合併的剪影，或保留各自填色的獨立形狀。保留原始圓形與計算所得的切點，每當角色比例改變時，就能重新建立同樣貼合邊緣的橋接形狀。