किनारों पर दो वृत्तों से मिलने वाला भरा हुआ सेतु कैसे बनाएँ
दो वृत्तों के बीच भरा हुआ सेतु बनाने के लिए, उन चार बिंदुओं का पता लगाएँ जहाँ उनकी दो बाहरी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ वृत्तों को छूती हैं, फिर उन बिंदुओं को जोड़कर एक बंद चतुर्भुज बनाएँ। एक सतत आकृति-रेखा बनाने के लिए उस चतुर्भुज को वृत्तों के साथ मिला दें, या वृत्तों की प्रतियाँ घटाकर घुमावदार सिरों वाला अलग सेतु बनाएँ, जो उनके किनारों पर ठीक बैठे।
इस ट्यूटोरियल में Inkscape का उपयोग करके सपाट शैली के पात्र या वर्चुअल खिलौने के चित्र के लिए सटीक जोड़ बनाया गया है। चुनी गई रचना में ऊपर और नीचे की सीधी भुजाएँ वृत्तों से सहजता से मिलती हैं। एक उदाहरण में सटीक निर्देशांक दिए गए हैं, फिर अलग-अलग आकार और स्थिति वाले वृत्तों के लिए दोबारा इस्तेमाल किया जा सकने वाला सूत्र दिया गया है।
सेतु दोनों वृत्तों से सहजता से कैसे मिलता है?
सेतु किसी वृत्त को छू सकता है, लेकिन उसकी रूपरेखा से सहजता से जुड़ना अलग बात है। परिधि पर कहीं भी कोने रखने से संपर्क तो बनता है, पर सेतु की भुजा फिर भी एक स्पष्ट कोना बना सकती है। सहज जोड़ के लिए उस भुजा को संपर्क-बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुरूप होना चाहिए।
दो अलग-अलग वृत्तों के लिए बाहरी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की जोड़ी का उपयोग करें: ये वे रेखाएँ हैं जो दोनों वृत्तों के बाहर से गुजरती हैं। प्रत्येक संपर्क-बिंदु अपने वृत्त पर होता है, और उस बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है। यही शर्तें Wolfram MathWorld के वृत्त-वृत्त स्पर्शरेखा समीकरणों में व्यक्त की गई हैं।
चार संपर्क-बिंदु इस रचना का चतुर्भुज तय करते हैं। इसकी दोनों लंबी भुजाएँ सेतु के दिखाई देने वाले किनारे बनती हैं; बंद करने वाली दोनों भुजाएँ वृत्तों के भीतर से गुजरती हैं। आकृतियों को मिलाने या वृत्तों का अतिव्यापन हटाने पर ये बंद करने वाली भुजाएँ गायब हो जाती हैं।
इस रचना से सीधी भुजाओं वाला जोड़ बनता है। भीतर की ओर मुड़ता, बीच में संकरा होता जोड़ बनाने के लिए अलग वक्र-रचना चाहिए; केवल स्पर्श-बिंदुओं से उसका आकार तय नहीं होता।
चित्र बनाना शुरू करने से पहले क्या तैयार रखें?
दो पूरे वृत्त, एक ठोस भरण रंग और कोई स्ट्रोक न रखें। पूरी रचना में निर्देशांक की एक ही इकाई का उपयोग करें। दिखाई देने वाला स्ट्रोक उस सीमा को छिपा सकता है जिससे आपको मेल बैठाना है, इसलिए भरी हुई ज्यामिति बनाने के बाद ही अंतिम बाहरी रेखा जोड़ें।
Inkscape में E दबाकर Ellipse टूल चुनें, फिर वृत्त बनाने के लिए खींचते समय Ctrl दबाए रखें। सटीक माप के लिए टूल नियंत्रणों में Rx और Ry के मान समान रखें। यदि कोई वस्तु चाप या खंड है, तो आगे बढ़ने से पहले Make ellipse whole चुनें। इन नियंत्रणों का विवरण वृत्तों, दीर्घवृत्तों और चापों की Inkscape मार्गदर्शिका में है।
Object → Fill and Stroke खोलें। ठोस भरण चुनें और Stroke paint के नीचे क्रॉस के आकार वाला No paint नियंत्रण चुनें। रचना की जाँच करते समय अपारदर्शिता 100% रखें। इन सेटिंगों के लिए The Fill and Stroke Dialog देखें।
काम की जगह के बाहर मूल दोनों वृत्तों की एक अतिरिक्त प्रति रखें। अंतिम Boolean ऑपरेशन रचना को बदल देता है, और मूल वृत्तों से बाद में बदलाव करना आसान होता है।
उदाहरण के निर्देशांकों से सटीक सेतु कैसे बनाएँ?
नीचे दिए गए आयामों को उदाहरण के तौर पर लें। इनसे जानबूझकर बहुत पतला होता जोड़ बनता है, ताकि संपर्क की ज्यामिति को आसानी से देखा जा सके। निर्देशांक पिक्सेल में हैं; x दाईं ओर और y नीचे की ओर बढ़ता है।
| वस्तु | केंद्र | त्रिज्या | बाउंडिंग बॉक्स |
|---|---|---|---|
| वृत्त A | (100, 100) | 70 | x = 30–170; y = 30–170 |
| वृत्त B | (200, 100) | 10 | x = 190–210; y = 90–110 |
केंद्रों के बीच की दूरी 100 इकाई है। त्रिज्याओं का अंतर घटाने पर वृत्तों के निकटतम किनारों के बीच 20 इकाई का अंतर बचता है। सेतु को इस अंतर को पाटते हुए वृत्तों की रूपरेखा में सहजता से जारी रहना चाहिए।
इन वृत्तों के लिए स्पर्शरेखाओं के चार संपर्क-बिंदु हैं:
| बिंदु | स्थान | निर्देशांक |
|---|---|---|
| A ऊपरी | वृत्त A पर ऊपर का संपर्क-बिंदु | (142, 44) |
| B ऊपरी | वृत्त B पर ऊपर का संपर्क-बिंदु | (206, 92) |
| B निचला | वृत्त B पर नीचे का संपर्क-बिंदु | (206, 108) |
| A निचला | वृत्त A पर नीचे का संपर्क-बिंदु | (142, 156) |
Bézier/Pen टूल चुनें और तालिका में दिए क्रम से चार कोनों वाला पथ बनाएँ। खींचे बिना हर कोने पर क्लिक करें, फिर पथ बंद करने के लिए शुरुआती बिंदु पर क्लिक करें। इसे वृत्तों वाला ही ठोस भरण रंग दें और इसका स्ट्रोक हटा दें।
सटीक स्थान के लिए पहले चतुर्भुज को लगभग सही बनाएँ। N दबाकर Node टूल चुनें, एक बार में एक नोड चुनें और टूल नियंत्रणों में उसके x तथा y निर्देशांक दर्ज करें। निर्देशांक की इकाई पिक्सेल रखें। Inkscape इन संख्यात्मक फ़ील्ड का विवरण Node Tool Options में देता है।
बिंदुओं को जोड़ते समय परिधि के क्रम का पालन करें: A ऊपरी → B ऊपरी → B निचला → A निचला → बंद करें। तिरछे जोड़ने से इच्छित भरे हुए सेतु के बजाय एक-दूसरे को काटता हुआ पथ बनेगा।
इन उदाहरण निर्देशांकों की नियतात्मक गणना से जाँच की गई है: हर संपर्क-बिंदु अपने वृत्त के केंद्र से सही दूरी पर है, और सेतु की प्रत्येक लंबी भुजा संबंधित संपर्क त्रिज्या के लंबवत है।
सेतु को मिलाएँ या अलग रखें?
अंतिम संरचना इस आधार पर चुनें कि आप पात्र को कैसे संपादित या रंगना चाहते हैं।
| इच्छित परिणाम | रचना |
|---|---|
| एक सतत, एक ही रंग की आकृति-रेखा | दोनों वृत्तों और चतुर्भुज को जोड़ें |
| अलग रंग का सेतु, जो वृत्तों पर जाकर रुके | चतुर्भुज से वृत्तों की प्रतियाँ घटाएँ |
| बाद में बदलाव के लिए संपादन योग्य रचना | किसी भी ऑपरेशन से पहले मूल वृत्त और चतुर्भुज सुरक्षित रखें |
एकल आकृति-रेखा के लिए दोनों वृत्त और चतुर्भुज चुनें, फिर Path → Union चुनें। अलग सेतु के लिए वृत्तों की प्रतियाँ बनाएँ, उन प्रतियों को एक काटने वाली आकृति में जोड़ें और उसे चतुर्भुज के ऊपर रखें। काटने वाली आकृति और चतुर्भुज चुनें, फिर Path → Difference चुनें। मूल वृत्तों को इस चयन से बाहर रखें।
Difference से अतिव्यापित वृत्ताकार हिस्से हट जाते हैं, जिससे सेतु के घुमावदार सिरे सामने वाले वृत्तों की सीमाओं के अनुरूप रहते हैं। Union पूरी भरी हुई बाहरी रूपरेखा बनाए रखता है। इन ऑपरेशनों और परतों के क्रम के महत्व को Inkscape की Boolean Operations मार्गदर्शिका में समझाया गया है।
चतुर्भुज की सीधी बंद करने वाली भुजाएँ केवल रचना के लिए हैं। अगर बिना काटे चतुर्भुज को अलग रंग में दिखाया जाए, तो उसकी ये जीवा वृत्तों के भीतर दिखाई देंगी। जब सेतु को अलग रंग देना हो और उसे ठीक परिधि पर समाप्त करना हो, तो घटाने वाली प्रक्रिया अपनाएँ।
अन्य वृत्तों के लिए संपर्क-बिंदु कैसे निकालें?
निम्नलिखित सूत्र MathWorld के स्पर्शरेखा समीकरणों में दी गई त्रिज्या-लंबाई और लंबवतता की शर्तों पर आधारित एक व्युत्पन्न मार्गदर्शक है। यह किसी भी स्थिति में रखे वृत्तों पर काम करता है, इसलिए उनका क्षैतिज दिशा में संरेखित होना आवश्यक नहीं है।
मान लें कि केंद्र A = (ax, ay) और B = (bx, by) हैं तथा त्रिज्याएँ धनात्मक rA और rB हैं। पहले केंद्रों के बीच की दूरी और A से B की ओर संकेत करने वाला इकाई सदिश निकालें:
d = sqrt((bx − ax)² + (by − ay)²)
u = (ux, uy) = ((bx − ax) / d, (by − ay) / d)
एक लंबवत इकाई सदिश v = (−uy, ux) बनाएँ। फिर गणना करें:
q = (rA − rB) / d
s = sqrt(1 − q²)
n₁ = q·u + s·v
n₂ = q·u − s·v
यहाँ सदिश गुणा का अर्थ है प्रत्येक घटक को अदिश से गुणा करना। प्रत्येक सदिश n केंद्र से स्पर्श-संपर्क बिंदु की ओर संकेत करता है। चार बिंदु हैं:
- A₁ = A + rA·n₁
- B₁ = B + rB·n₁
- A₂ = A + rA·n₂
- B₂ = B + rB·n₂
परिधि को A₁ → B₁ → B₂ → A₂ → बंद करें क्रम में बनाएँ। वृत्तों की व्यवस्था और निर्देशांक की दिशा के आधार पर दोनों में से कोई भी अभिलंब ऊपरी भुजा को दर्शा सकता है।
दिए गए उदाहरण में u = (1, 0), q = 0.6, और s = 0.8 हैं। दोनों अभिलंब (0.6, 0.8) और (0.6, −0.8) हैं। इन्हें प्रत्येक त्रिज्या से गुणा करके संबंधित केंद्र में जोड़ने पर पहले दिए गए चार निर्देशांक मिलते हैं।
रचना सीधे इन सदिशों से निकलती है: हर अभिलंब की लंबाई एक है, इसलिए उसका संपर्क-बिंदु वृत्त पर पड़ता है। उसका उसी अभिलंब वाले संपर्क-बिंदुओं के बीच के रेखाखंड के साथ डॉट गुणनफल शून्य है, जिससे स्पर्शरेखीयता स्थापित होती है। समान त्रिज्याओं के लिए q = 0 होता है, इसलिए सेतु की भुजाएँ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के समानांतर चलती हैं।
इस रचना में कब बदलाव करना होगा?
अलग-अलग वृत्तों वाले काम के लिए d > rA + rB होना चाहिए। इससे सेतु भरने के लिए एक वास्तविक अंतर मिलता है। यदि वृत्त पहले से एक-दूसरे पर चढ़े हुए हों, तब भी उन्हें जोड़ना उपयोगी हो सकता है, लेकिन उससे आकार की एक अलग समस्या हल होती है।
दो अलग बाहरी स्पर्शरेखा भुजाओं के लिए सूत्र में d > |rA − rB| आवश्यक है। समानता होने पर स्पर्शरेखा की रचना सिमट जाती है। इस सीमा से नीचे एक वृत्त दूसरे के भीतर होता है और वर्गमूल का कोई वास्तविक मान नहीं होता। संपाती केंद्रों के लिए इकाई सदिश की गणना भी अपरिभाषित है। ये सीमाएँ ऊपर दिए सूत्र से निकलती हैं।
किसी भी वृत्त को खिसकाने या उसका आकार बदलने पर संपर्क-बिंदुओं की फिर से गणना करें। सेतु के कोने को आँख से खिसकाने पर संपर्क बना रह सकता है, लेकिन स्पर्शरेखीयता खो सकती है। इसी तरह, किसी वृत्त को खींचकर दीर्घवृत्त बनाने से ज्यामिति बदल जाती है; वृत्तों के लिए बना यह विशिष्ट सूत्र तब लागू नहीं होता।
तैयार जोड़ की जाँच कैसे करें?
परिणाम को पास से ज़ूम करके और उसके निर्धारित प्रदर्शन आकार पर देखें। किसी दिखाई देने वाली खराबी का कारण ढूँढ़ने के लिए यह क्रम अपनाएँ:
- भरण जाँचें। पुष्टि करें कि चतुर्भुज बंद और भरा हुआ है तथा उसमें एक-दूसरे को काटते हुए रेखाखंड नहीं हैं।
- वृत्तों की ज्यामिति जाँचें। केंद्रों, त्रिज्याओं और निर्देशांक की इकाइयों का गणना से मिलान करें।
- चारों संपर्क जाँचें। वक्र हैंडल बदलने से पहले नोड के निर्देशांक ठीक करें।
- अंतिम संरचना जाँचें। पुष्टि करें कि Union या Difference ने आपकी इच्छानुसार आकृति-रेखा या अलग सेतु बनाया है।
- बाहरी रेखा जाँचें। यदि डिज़ाइन में ज़रूरी हो तो तैयार आकृति-रेखा पर स्ट्रोक जोड़ें; अलग-अलग स्ट्रोक वाली आकृतियों में अनचाही आंतरिक सीमाएँ देखें।
संख्यात्मक जाँच के लिए हर संपर्क-बिंदु की केंद्र से दूरी मापें: वह संबंधित वृत्त की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए। फिर जाँचें कि सेतु की हर दिखाई देने वाली भुजा अपनी संपर्क त्रिज्याओं के लंबवत है। इन जाँचों से सटीक जोड़ और केवल देखने में सही लगने वाले जोड़ के बीच फर्क पता चलता है।
संपर्क-बिंदु सही होने के बाद यह तय करना बाकी रहता है कि चित्र को कैसे व्यवस्थित करना है: एक जुड़ी हुई आकृति-रेखा के रूप में या अलग-अलग भरे हुए हिस्सों के रूप में। मूल वृत्त और गणना किए हुए बिंदु सुरक्षित रखें, ताकि पात्र का अनुपात बदलने पर आप वही किनारे से मेल खाने वाला सेतु फिर से बना सकें।