Cara Membina Jambatan Berisi yang Bertemu dengan Dua Bulatan pada Tepiannya

Jambatan boleh menyentuh bulatan tanpa bersambung dengan garis luarnya secara lancar. Meletakkan bucunya di mana-mana pada lilitan membentuk titik sentuhan, tetapi sisi jambatan masih boleh menghasilkan bucu yang kelihatan. Untuk peralihan yang lancar, sisi itu mesti mengikut tangen bulatan pada titik sentuhan.

Bagi dua bulatan yang terpisah, gunakan sepasang tangen sepunya luar: garis yang merentasi bahagian luar kedua-dua bulatan. Setiap titik sentuhan terletak pada bulatannya, dan jejari melalui titik itu berserenjang dengan tangen. Inilah syarat yang dinyatakan dalam persamaan tangen bulatan-bulatan Wolfram MathWorld.

Empat titik sentuhan itu menentukan segi empat binaan. Dua sisi panjangnya menjadi tepi jambatan yang terdedah; dua sisi penutupnya merentasi bulatan. Sisi penutup itu akan hilang apabila bentuk-bentuk dicantumkan atau bahagian bulatan yang bertindih dibuang.

Binaan ini menghasilkan penyambung bersisi lurus. Penyambung yang melengkung ke dalam dan mengecil memerlukan reka bentuk lengkung yang berbeza; titik tangen sahaja tidak menentukan bentuk itu.

Mulakan dengan dua bulatan lengkap, isian padu dan tanpa strok. Gunakan satu unit koordinat yang sama sepanjang proses. Strok yang kelihatan boleh mengaburkan sempadan yang cuba anda padankan, jadi tambahkan sebarang garis luar akhir selepas membina geometri berisi.

Dalam Inkscape, pilih alat Ellipse dengan E, kemudian tahan Ctrl sambil menyeret untuk menghasilkan bulatan. Untuk dimensi yang tepat, tetapkan nilai Rx dan Ry yang sama dalam kawalan alat. Jika objek itu ialah lengkok atau segmen, gunakan Jadikan elips lengkap sebelum meneruskan. Kawalan ini diterangkan dalam panduan Inkscape tentang bulatan, elips dan lengkok.

Buka Object → Fill and Stroke. Tetapkan isian padu dan pilih kawalan No paint berbentuk silang di bawah Stroke paint. Kekalkan kelegapan pada 100% semasa memeriksa binaan. Lihat Dialog Isian dan Strok untuk tetapan ini.

Simpan salinan tambahan bagi dua bulatan asal di luar kawasan kerja. Operasi Boolean akhir mengubah binaan, dan bulatan asal itu memudahkan pelarasan kemudian.

Gunakan dimensi ilustrasi berikut. Dimensi ini sengaja menghasilkan penyambung yang sangat tirus supaya geometri sentuhan mudah diperiksa. Koordinat menggunakan piksel, dengan x meningkat ke kanan dan y meningkat ke bawah.

Objek	Pusat	Jejari	Kotak sempadan
Bulatan A	(100, 100)	70	x = 30–170; y = 30–170
Bulatan B	(200, 100)	10	x = 190–210; y = 90–110

Pusat-pusatnya berjarak 100 unit. Tolak jejari-jejari untuk mendapatkan jurang 20 unit antara tepi bulatan yang paling hampir. Jambatan mesti merentasi jurang itu sambil bersambung dengan lancar pada garis luar bulatan.

Bagi bulatan ini, empat titik sentuhan tangen ialah:

Titik	Lokasi	Koordinat
A atas	Sentuhan atas pada Bulatan A	(142, 44)
B atas	Sentuhan atas pada Bulatan B	(206, 92)
B bawah	Sentuhan bawah pada Bulatan B	(206, 108)
A bawah	Sentuhan bawah pada Bulatan A	(142, 156)

Pilih alat Bézier/Pen dan bina laluan empat bucu mengikut susunan dalam jadual. Klik setiap bucu tanpa menyeret, kemudian klik titik permulaan untuk menutup laluan. Gunakan isian padu yang sama seperti bulatan dan buang strok.

Untuk kedudukan tepat, lukis dahulu segi empat itu secara anggaran. Tukar kepada alat Node dengan N, pilih satu nod pada satu masa, kemudian masukkan koordinat x dan y dalam kawalan alat. Tetapkan unit koordinat kepada piksel. Inkscape mendokumenkan medan berangka ini dalam Pilihan Alat Node.

Ikut perimeter semasa menyambungkan titik: A atas → B atas → B bawah → A bawah → tutup. Menyambungkan titik secara pepenjuru merentasi bentuk akan menghasilkan laluan bersilang, bukannya jambatan berisi yang dikehendaki.

Koordinat contoh ini disemak melalui pengiraan deterministik: setiap titik sentuhan berada pada jarak yang betul dari pusat bulatannya, dan setiap tepi jambatan yang panjang berserenjang dengan jejari sentuhan yang sepadan.

Pilih struktur akhir berdasarkan cara anda mahu menyunting atau mewarnakan watak itu.

Hasil yang dikehendaki	Binaan
Satu siluet berterusan dengan satu warna	Cantumkan kedua-dua bulatan dan segi empat
Jambatan berwarna berasingan yang berhenti pada bulatan	Tolak salinan bulatan daripada segi empat
Binaan boleh sunting untuk pelarasan kemudian	Kekalkan bulatan asal dan segi empat sebelum salah satu operasi

Untuk satu siluet, pilih kedua-dua bulatan dan segi empat, kemudian pilih Path → Union. Untuk jambatan berasingan, gandakan bulatan, cantumkan salinan itu menjadi satu pemotong, dan letakkan pemotong tersebut di atas segi empat. Pilih pemotong dan segi empat, kemudian pilih Path → Difference. Kekalkan bulatan asal di luar pilihan ini.

Difference membuang bahagian bulatan yang bertindih, lalu meninggalkan hujung jambatan melengkung yang mengikut sempadan bulatan yang menghadap. Union mengekalkan keseluruhan garis luar berisi. Operasi ini dan kepentingan susunan tindanan diterangkan dalam panduan Operasi Boolean Inkscape.

Sisi penutup lurus pada segi empat ialah tepi binaan. Jika segi empat yang belum dipangkas dibiarkan kelihatan dalam warna lain, kord itu akan kelihatan di dalam bulatan. Gunakan aliran kerja penolakan apabila jambatan memerlukan warna tersendiri dan mesti berakhir tepat pada lilitan bulatan.

Formula berikut ialah alat panduan keputusan terbitan berdasarkan syarat panjang jejari dan keserenjangan dalam persamaan tangen MathWorld. Formula ini berfungsi untuk bulatan pada sebarang kedudukan, jadi penjajaran mendatar tidak diperlukan.

Katakan pusat-pusatnya ialah A = (ax, ay) dan B = (bx, by), dengan jejari positif rA dan rB. Mula-mula, kira jarak antara pusat dan vektor unit yang menunjuk dari A ke B:

d = sqrt((bx − ax)² + (by − ay)²)

u = (ux, uy) = ((bx − ax) / d, (by − ay) / d)

Bina vektor unit serenjang v = (−uy, ux). Kemudian kira:

q = (rA − rB) / d

s = sqrt(1 − q²)

n₁ = q·u + s·v

n₂ = q·u − s·v

Pendaraban vektor di sini bermaksud mendarab setiap komponen dengan skalar. Setiap vektor n menunjuk dari pusat ke titik sentuhan tangen. Empat titik itu ialah:

• A₁ = A + rA·n₁
• B₁ = B + rB·n₁
• A₂ = A + rA·n₂
• B₂ = B + rB·n₂

Lukis perimeter A₁ → B₁ → B₂ → A₂ → tutup. Mana-mana normal boleh mewakili sisi atas, bergantung pada susunan bulatan dan orientasi koordinat.

Untuk contoh lengkap, u = (1, 0), q = 0.6 dan s = 0.8. Dua normal ialah (0.6, 0.8) dan (0.6, −0.8). Darabkan normal itu dengan setiap jejari dan tambahkan pusat yang sepadan untuk mendapatkan empat koordinat yang disenaraikan tadi.

Binaan ini terhasil secara langsung daripada vektor tersebut: setiap normal mempunyai panjang satu, lalu meletakkan titik sentuhan pada bulatan. Hasil darab titiknya dengan segmen antara titik sentuhan yang sepadan ialah sifar, yang membuktikan keadaan tangen. Bagi jejari yang sama, q = 0, maka sisi jambatan selari dengan garis yang menghubungkan pusat-pusat.

Bagi tugasan bulatan terpisah, syaratkan d > rA + rB. Ini menghasilkan jurang sebenar untuk diisi oleh jambatan. Jika bulatan sudah bertindih, mencantumkannya mungkin masih berguna, tetapi hasilnya menangani masalah bentuk yang berbeza.

Formula itu sendiri memerlukan d > |rA − rB| untuk menghasilkan dua sisi tangen luar yang berbeza. Pada nilai sama, binaan tangen runtuh. Di bawah ambang itu, satu bulatan berada di dalam bulatan yang satu lagi dan punca kuasa dua tidak mempunyai nilai nyata. Pusat yang bertepatan juga menjadikan pengiraan vektor unit tidak tertakrif. Had ini terbit daripada formula di atas.

Kira semula titik sentuhan setiap kali anda menggerakkan atau mengubah saiz mana-mana bulatan. Mengubah kedudukan bucu jambatan dengan mengagak mungkin mengekalkan sentuhan tetapi menghilangkan keadaan tangen. Begitu juga, meregangkan bulatan menjadi elips mengubah geometri; formula khusus untuk bulatan ini tidak lagi terpakai.

Periksa hasilnya pada zum dekat dan pada saiz paparan yang dimaksudkan. Gunakan urutan berikut untuk mengenal pasti punca kecacatan yang kelihatan:

1. Periksa isian. Pastikan segi empat tertutup, berisi dan tiada segmen bersilang.
2. Periksa geometri bulatan. Sahkan pusat, jejari dan unit koordinat berdasarkan pengiraan.
3. Periksa empat titik sentuhan. Betulkan koordinat nod sebelum mengubah pemegang lengkung.
4. Periksa struktur akhir. Pastikan Union atau Difference menghasilkan siluet atau jambatan berasingan yang anda kehendaki.
5. Periksa garis luar. Tambahkan strok pada siluet siap jika reka bentuk memerlukannya; periksa bahagian yang distrok secara berasingan untuk memastikan tiada sempadan dalaman yang tidak diingini.

Untuk semakan berangka, ukur jarak setiap titik sentuhan dari pusatnya: jarak itu sepatutnya sama dengan jejari bulatan tersebut. Kemudian sahkan bahawa setiap sisi jambatan yang terdedah berserenjang dengan jejari sentuhannya. Ujian ini membezakan sambungan yang tepat daripada sambungan yang sekadar kelihatan sejajar.

Setelah titik sentuhan betul, pilihan seterusnya ialah cara menyusun karya seni: satu siluet bersatu atau bahagian berisi yang berasingan. Kekalkan bulatan sumber dan titik yang dikira, dan anda boleh membina semula jambatan yang sepadan dengan tepi ini setiap kali perkadaran watak berubah.

• Bulatan, Elips dan Lengkok — Panduan Pemula Inkscape
• Dialog Isian dan Strok — Panduan Pemula Inkscape
• Pilihan Alat Node — Panduan Pemula Inkscape
• Operasi Boolean — Panduan Pemula Inkscape
• Tangen Bulatan-Bulatan — Wolfram MathWorld