Como ajustar as ressonâncias de um filtro pente estático a uma nota

Um filtro pente tem um padrão repetitivo de picos e vales na resposta em frequência. Duas estruturas básicas são relevantes aqui: um filtro pente feedforward combina um sinal de entrada com uma cópia atrasada, enquanto um filtro pente com realimentação recircula a saída atrasada. A estrutura com realimentação produz uma série decrescente de repetições e é o ponto de partida relevante quando você quer um ressonador com som prolongado. “Comb Filters”, de Julius O. Smith, explica as duas estruturas.

Neste artigo, ajustar significa posicionar a ressonância não nula mais baixa na frequência desejada. Essa definição elimina uma ambiguidade: posicionar qualquer pico mais alto em uma nota não significa necessariamente que essa nota seja a base do padrão de ressonâncias.

“Estático” significa manter o ajuste fixo durante o som. Para a configuração inicial, desative a modulação do atraso ou da afinação, incluindo envelopes, LFOs, automação e acompanhamento de teclado. Quando disponível, um modo de nota fixa é útil. Por exemplo, o modo Fix do Massive X define o ajuste do filtro pente independentemente da afinação MIDI recebida. Manual do Massive X: Filter

Primeiro, escolha uma nota, uma oitava e uma referência de afinação. No temperamento igual de doze tons, com Lá4 definido como 440 Hz, a frequência é:

[ f_0=440\times2^{(n-69)/12} ]

Aqui, (n) é o número da nota MIDI: Lá4 é 69 e Dó central é 60. A referência de frequências das notas da Inspired Acoustics apresenta essa fórmula e a tabela correspondente.

Para um filtro pente básico com realimentação positiva, calcule:

[ T_{\text{ms}}=\frac{1000}{f_0} ]

As ressonâncias resultantes ocorrem em (f_0,2f_0,3f_0,\ldots), dentro da faixa de frequências disponível. A Cycling ’74 ilustra a relação com um atraso de 2 ms, que resulta em espaçamento de 500 Hz. Tutorial 6 de atraso do MSP: filtro pente

Os valores a seguir foram calculados com base nessas equações, usando Lá4 = 440 Hz. A coluna de realimentação negativa posiciona a ressonância mais baixa na mesma nota desejada; a seguir, explicamos o motivo do atraso mais curto.

Nota desejada	Frequência	Atraso com realimentação positiva	Atraso com realimentação negativa
Lá2	110,000 Hz	9,091 ms	4,545 ms
Dó3	130,813 Hz	7,645 ms	3,822 ms
Lá3	220,000 Hz	4,545 ms	2,273 ms
Dó4	261,626 Hz	3,822 ms	1,911 ms
Lá4	440,000 Hz	2,273 ms	1,136 ms
Dó5	523,251 Hz	1,911 ms	0,956 ms

Use a frequência adequada à sua referência de afinação real. Verifique também a unidade indicada ao lado do controle: 2,273 milissegundos são 0,002273 segundos. Se o dispositivo aceitar diretamente uma nota ou frequência, use esse controle e verifique o espectro resultante, em vez de convertê-la para milissegundos sem necessidade.

No modelo básico usado aqui, a realimentação é definida por (y[n]=x[n]+g,y[n-M]). Com (g) positivo, as ressonâncias ocorrem em múltiplos inteiros do inverso do atraso. Com (g) negativo, elas se deslocam para posições intermediárias entre esses pontos. Essa disposição dependente da polaridade é derivada na análise de filtros pente de Smith.

Expressos em segundos, os dois padrões são:

• Realimentação positiva: (f_k=k/T), com o primeiro pico não nulo em (1/T).
• Realimentação negativa: (f_k=(2k+1)/(2T)), com o primeiro pico em (1/(2T)).

Consequentemente, a realimentação negativa requer:

[ T_{\text{ms}}=\frac{500}{f_0} ]

Em uma configuração ilustrativa de Lá4, a realimentação positiva com atraso de 2,273 ms gera picos próximos de 440, 880 e 1.320 Hz. Mudar para realimentação negativa sem alterar esse atraso gera picos próximos de 220, 660 e 1.100 Hz. Reduzir o atraso da realimentação negativa para 1,136 ms posiciona os picos perto de 440, 1.320 e 2.200 Hz.

Isso oferece uma escolha prática: realimentação positiva para uma série harmônica completa de números inteiros ou realimentação negativa para múltiplos ímpares da fundamental escolhida. O manual do Massive X documenta a mesma distinção entre todos os harmônicos e apenas os harmônicos ímpares para o controle de polaridade da realimentação. Manual do Massive X: Comb

Confira a convenção de sinais no manual antes de interpretar os sinais de mais ou menos de um botão. Identifique também qual sinal uma chave de polaridade inverte: alterar a polaridade de um sinal externo processado é uma operação diferente de alterar a polaridade da malha de realimentação.

Siga esta sequência para separar o ajuste da característica do som de origem. Você precisa de um filtro pente ou processador de atraso curto, uma fonte de teste e um analisador de espectro capaz de mostrar picos individuais próximos à frequência desejada.

1. Estabeleça uma configuração simples. Desative a modulação do atraso, a sincronização com o andamento e o acompanhamento de afinação. Se possível, desative o processamento opcional de dispersão ou passa-tudo.
2. Escolha a polaridade da realimentação. Use a equação de atraso adequada acima.
3. Insira o atraso calculado. Comece com realimentação moderada e aumente-a o suficiente para deixar o padrão de ressonâncias visível.
4. Teste com material de banda larga. Use ruído ou um impulso curto de banda larga. Analise a saída processada isoladamente antes de adicionar o sinal seco em paralelo.
5. Localize o pico mais baixo pretendido. Confira sua frequência e pelo menos dois picos vizinhos em relação à série esperada.
6. Ajuste o atraso com precisão. Repita o teste após cada ajuste, mantendo os outros controles fixos.

A Cycling ’74 usa ruído branco e um pulso rico em harmônicos como fontes de teste e explica que é mais fácil observar a filtragem quando a entrada contém muitas frequências. Por isso, o material de banda larga é um recurso de diagnóstico útil antes de testar sua fonte musical. Cycling ’74: Testando o filtro pente

Para Lá4 com realimentação positiva, procure picos perto de 440, 880 e 1.320 Hz. Não considere um único pico perto de 440 Hz uma confirmação suficiente: ele pode ser uma ressonância mais alta de uma série ajustada a uma nota mais baixa. Conferir os picos vizinhos testa tanto o ajuste quanto sua interpretação da polaridade.

Se você medir a cauda de ressonância após um impulso, use realimentação suficiente para que ela continue visível. No modelo ideal de realimentação, uma resposta decrescente requer uma magnitude de realimentação menor que um; a relação exata entre a porcentagem exibida pelo dispositivo e seu coeficiente interno depende da implementação. Smith: filtros pente com realimentação

Primeiro, confira a resolução do controle de atraso. Com uma taxa de amostragem (f_s), o comprimento ideal do atraso com realimentação positiva é:

[ M=\frac{f_s}{f_0} ]

No exemplo de Lá4 a 48 kHz, isso corresponde a 109,0909 amostras. Um atraso que só aceite números inteiros não consegue representar esse valor exato.

Calculado por meio de (f=f_s/M), um atraso de 109 amostras resulta em aproximadamente 440,367 Hz, cerca de 1,44 centésimos de semitom acima. Um atraso de 110 amostras resulta em aproximadamente 436,364 Hz, cerca de 14,37 centésimos de semitom abaixo. Portanto, uma indicação precisa do valor em milissegundos, por si só, não determina a resolução efetiva de afinação do processador.

O processamento de atraso fracionário representa atrasos entre posições inteiras de amostra. Diferentes métodos de interpolação têm comportamentos distintos de amplitude e fase; Smith discute especificamente as opções de interpolação dentro de malhas de realimentação. “Interpolação de linhas de atraso e de sinais”

Para um processador que segue aproximadamente a relação inversa do atraso, use esta correção baseada na medição:

[ T_{\text{novo}}\approx T_{\text{antigo}}\times\frac{f_{\text{medida}}}{f_{\text{desejada}}} ]

Por exemplo, suponha que uma medição hipotética mostre um pico de 435 Hz com atraso de 2,30 ms e que o alvo seja 440 Hz. O ponto inicial corrigido é (2,30\times435/440\approx2,274) ms. Este é um exemplo calculado, não um resultado medido de um produto. Faça um novo teste após aplicar o ajuste. Se os controles usarem desvios de nota, ajuste o controle de afinação fina com base no pico medido.

Um processador pode incluir mais do que um atraso e um ganho de realimentação. A documentação do C15 da Nonlinear Labs descreve um filtro passa-tudo e um filtro passa-baixas dentro de sua ramificação de realimentação do filtro pente. O passa-tudo altera a fase em função da frequência, o que equivale a um atraso adicional também dependente da frequência. Manual do usuário do C15: filtro pente

Por isso, a equação do inverso do atraso é um ponto de partida para um ressonador mais elaborado. Primeiro, estabeleça o ajuste simples, adicione a dispersão desejada e meça novamente. Se os picos deixarem de seguir uma série de números inteiros, identifique qual ressonância você quer alinhar à nota, em vez de tentar alinhar todos os picos.

O amortecimento também altera o equilíbrio da cauda. No modelo de realimentação passa-baixas documentado por Smith, as frequências mais altas decaem mais rápido que as mais baixas. “Filtro pente com realimentação passa-baixas”

Defina o amortecimento e a realimentação finais antes da última verificação de ajuste. Se o espaçamento dos parciais for intencionalmente irregular, descreva o ajuste como uma ressonância escolhida e alinhada à nota; talvez o espectro completo já não constitua a série harmônica dessa nota.

Quando o sinal de teste mostrar os picos esperados, restaure a fonte desejada e diagnostique o problema restante com base no que observar.

Observação	Próxima verificação
A afinação percebida está uma oitava abaixo	Confira novamente a polaridade da realimentação e a ressonância mais baixa.
O padrão de ressonâncias se move durante a reprodução	Verifique a modulação do atraso, os envelopes de afinação, a automação e o acompanhamento de teclado.
O ruído revela o ajuste, mas a fonte quase não ressoa	Verifique se a fonte fornece energia perto das ressonâncias desejadas.
O ajuste muda após alterações de timbre	Confira novamente os filtros na rota de realimentação e a dispersão.
Os ajustes próximos de atraso saltam por cima do alvo	Verifique a resolução do parâmetro e o suporte a atraso fracionário.

A verificação da energia da fonte decorre do funcionamento comum da filtragem: um filtro pente linear molda as frequências que recebe. Uma entrada esparsa pode revelar apenas parte da resposta. A recomendação da Cycling ’74 de usar fontes com muitos parciais é especialmente útil nesse caso. Tutorial 6 de atraso do MSP: filtro pente

Finalize conferindo a rota do sinal e salvando juntos a nota, a frequência de referência, a polaridade da realimentação, o atraso e os ajustes tonais relevantes. Um ajuste estático verificado consiste em um estado fixo dos controles e um padrão de ressonâncias compatível com o alvo escolhido. Calcule o atraso, inspecione vários picos e faça o ajuste final com o som real e as configurações da rota de realimentação aplicadas.

• “Comb Filters” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing
• “MSP Delay Tutorial 6: Comb Filter” — Cycling ’74 Documentation
• “Filter” — Native Instruments, Massive X Manual
• “MIDI note numbers and center frequencies” — Inspired Acoustics
• “Delay-Line and Signal Interpolation” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing
• “Comb Filter” — Nonlinear Labs, C15 User Manual
• “Lowpass-Feedback Comb Filter” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing