Изображение ширины, высоты и глубины на плоском листе
Чтобы нарисовать трёхмерный объект на плоской бумаге, сначала отделите сам объект от рисунка: объект обладает шириной, высотой и глубиной, тогда как лист бумаги имеет лишь два направления на своей плоскости. В наброске используются линии, углы и визуальные ориентиры для передачи глубины, но сам он объектом не является. Это руководство покажет, как нарисовать карандашом простую коробку, обозначить её размеры и связать один из её углов с трёхмерными координатами.
Что означают ширина, высота и глубина?
Измерение описывает направление, в котором простирается объект. Для коробки, стоящей на столе, ширина может означать протяжённость слева направо, высота — снизу вверх, а глубина — спереди назад. Эти названия зависят от ориентации объекта и точки обзора. Поверните коробку, и направление, которое вы называли шириной, может стать вертикальным. Для ясности укажите точку обзора: например, «ширина по передней грани, высота вверх и глубина по направлению от наблюдателя».
Три этих измерения не обязательно должны быть равны. Коробка шириной 6 единиц, высотой 4 единицы и глубиной 3 единицы имеет три разные длины сторон. На рисунке передняя грань может быть представлена в виде прямоугольника шириной 6 единиц и высотой 4 единицы. Её глубина показывается с помощью рёбер, уходящих вдаль от передней грани, концы которых соединяются, образуя заднюю грань.
Удобный способ не запутаться в направлениях — представить три перпендикулярные оси, сходящиеся в одном углу. Ось x может обозначать ширину, ось y — высоту, а ось z — глубину. Это лишь вариант обозначения: осям можно присвоить и другие значения, главное — сохранять последовательность выбранной системы. В уроке NASA по координатам точка в трёхмерных декартовых координатах описывается тремя значениями — x, y и z — вдоль трёх перпендикулярных осей. Страница находится в архиве, и NASA отмечает, что она больше не обновляется; приведённое там объяснение координат полезно здесь в качестве базовой геометрической справки.
Чем 3D-объект отличается от своего 2D-рисунка?
3D-объект занимает пространство и имеет протяжённость вдоль трёх независимых направлений. Рисунок, выполненный на бумаге, лежит на плоской поверхности, поэтому линии на ней могут меняться только в двух независимых направлениях: поперёк листа и вверх-вниз по нему. Набросок передаёт третье направление за счёт перспективы или правил наклонного проецирования. Нарисованная наклонная линия всё равно остаётся плоской на бумаге; она лишь обозначает ребро, которое мы мысленно представляем уходящим вглубь объекта или выступающим наружу.
Это различие имеет решающее значение при измерениях. В косоугольном наброске вы можете нарисовать все рёбра глубины под одним и тем же углом и с укороченной длиной, чтобы коробка аккуратно поместилась на листе. Это делает рисунок наглядным, но длина наклонной линии на бумаге может не совпадать с реальной глубиной коробки. В перспективном рисунке действуют свои правила схождения параллельных рёбер. Если на рисунке не указаны масштаб и метод проекции, используйте его для передачи формы, а не для вычисления точных размеров по видимой длине линий.
Плоское изображение также может скрывать информацию. Вид коробки только спереди может показывать ширину и высоту, но не раскрывать её глубину. Второй вид, подписанные размеры или трёхмерный набросок могут восполнить то, что упущено на первом изображении. Таким образом, рисунок является представлением: он отбирает и кодирует информацию об объекте, но не даёт зрителю полного пространственного восприятия самого объекта.
Упражнение: рисуем коробку карандашом на бумаге
Вам понадобятся лист бумаги и карандаш. Выберите угол листа, оставив вокруг достаточно свободного места. Слегка проведите горизонтальную линию вправо для ширины, вертикальную линию вверх для высоты и диагональную линию вверх и вправо для глубины. Эти три линии задают базовый набор направлений рисунка; диагональное направление глубины выбрано так, чтобы были видны верхняя и боковая грани.
Теперь постройте коробку на основе примера с координатами. Представьте, что ближний нижний угол — это начало координат, обозначаемое как (0, 0, 0), а дальний верхний угол находится в точке (4, 3, 2). В этом примере одна единица вдоль оси x означает одну единицу ширины, одна единица вдоль y — одну единицу высоты, а одна единица вдоль z — одну единицу глубины. Числа приведены для наглядности и не являются размерами реального предмета.
Из начала координат проведите три ребра к соседним углам: четыре единицы вдоль x к точке (4, 0, 0), три единицы вдоль y к (0, 3, 0) и две единицы вдоль z к (0, 0, 2). Выберите удобный масштаб для рисования, например полдюйма на единицу. На листе нарисуйте ребро x длиной 2 дюйма вправо, ребро y длиной 1,5 дюйма вверх и ребро z длиной 1 дюйм по диагонали вверх и вправо. Эти направления на листе являются условностью наброска; диагональная линия вовсе не означает, что физическое направление глубины в самой коробке буквально диагонально.
Завершите видимую часть коробки, нарисовав рёбра, параллельные этим трём начальным отрезкам. Из точки (4, 0, 0) проведите ребро длиной 3 единицы, параллельное y. Из точки (0, 3, 0) проведите ребро длиной 4 единицы, параллельное x. Они соединятся в точке (4, 3, 0), очерчивая передний прямоугольник. Затем проведите рёбра глубины из его углов — каждое параллельно вашей первой диагонали и той же длины, — чтобы соединить их с соответствующими углами задней грани. Если какое-то ребро скрыто за видимой гранью, либо не рисуйте его вовсе, либо обозначьте его тонкой пунктирной линией как невидимое, сделав соответствующую пометку.
Добавьте подписи: ширина = 4 единицы, высота = 3 единицы, глубина = 2 единицы. Подписи описывают воображаемый объект, в то время как длина линий на бумаге подчиняется выбранному масштабу и правилам построения наброска. Даже если вы выберете другой угол или укоротите рёбра глубины для большей наглядности, сохраняйте подписи: набросок по-прежнему будет описывать ту же самую коробку.
Что координаты сообщают в отличие от наброска?
Тройка координат указывает положение точки относительно выбранного начала координат и осей. В нашем примере запись (4, 3, 2) говорит о том, что дальний верхний угол находится на расстоянии 4 единиц вдоль x, 3 вдоль y и 2 вдоль z от начала координат. Знаки также имеют значение: отрицательная координата означает, что точка лежит по другую сторону от нулевой отметки этой оси. Схема помогает визуализировать взаимное расположение, а координаты дают точные числовые значения положения в заданной системе координат.
Координаты не следует путать с обозначениями ширины, высоты и глубины на рисунке. Координаты описывают положение точек; геометрические размеры описывают расстояния между частями объекта. Например, разность координат между (0, 0, 0) и (4, 0, 0) составляет 4 единицы вдоль оси x, что в данном случае определяет длину этого ребра. Если изменить начало координат или направления осей, значения координат могут измениться, даже если сама коробка останется прежней.
Существует и другой способ определения положения точки: измерение расстояний до известных опорных точек. В уроке NASA JPL «Отслеживание космических аппаратов с помощью трилатерации» описывается, как информация о расстоянии помогает точно определить местоположение. На плоской двухмерной схеме одно известное расстояние помещает точку в произвольное место на окружности вокруг опорной точки; вторая окружность оставляет две возможные точки пересечения, а третья позволяет однозначно определить одну точку в упрощённой схеме из урока. В трёх измерениях фиксированное расстояние от опорной точки образует сферу; объединение расстояний ограничивает область положения местом пересечения соответствующих сфер. В этом заключается математическое различие: координаты задают точку через значения на осях, тогда как трилатерация определяет её на основе расстояний. Реальное отслеживание космических аппаратов включает в себя системы и методы, выходящие далеко за рамки карандашного наброска, поэтому объяснение с окружностями и сферами служит геометрической моделью, а не полным описанием реальных процессов трекинга.
Проверьте свой набросок
Прежде чем закончить, убедитесь, что три обозначения размеров соответствуют трём непротиворечивым направлениям, параллельные рёбра коробки остаются параллельными в выбранной вами системе проецирования, а начало координат четко определено. Если ваш одноклассник или коллега сможет указать на переднюю грань, верхнюю грань и рёбра глубины и объяснить, какое измерение представляет каждое из них, набросок справляется со своей задачей. Помните главное различие: коробка простирается в трёх измерениях, а лист бумаги фиксирует двухмерный вид, передающий лишь часть информации о ней.
Источники и область применения
Оригинальное практическое упражнение с коробкой и карандашом связывает физическую глубину со штрихами на плоском листе. Перечисленные источники подтверждают указанные факты; контрольный список и упражнение представляют собой оригинальные авторские разработки.