如何通过叠加极性相反的锯齿波创建脉宽调制

你需要两个基本形状相同、振幅相等、极性相反且相位关系可调的锯齿波信号。若要得到精确的静态脉冲，它们的频率也必须相同。一个信号在重置之间上升，另一个则下降；两者相加时，斜率会相互抵消。

一种实用的配置包括：一个带有可独立调节相位输出的锯齿波信号源、一个可以将一个信号从另一个信号中相减的混音器，以及一个用于调制的低频振荡器（LFO）。也可以使用两个振荡器信号源和一个单独的极性反转器。Triphase Oscillator 是有相关文档说明的一种硬件实现：它提供音高相同、相位可独立控制的锯齿波输出，以及一个双极性混音器。Triphase Oscillator

极性反转和相位偏移是两种不同的操作。极性反转会将每个采样值或电压乘以 −1。相位偏移则会改变波形在周期内的位置。将锯齿波移相半个周期，本身并不会反转其斜率。Puckette 的波形分析表明，相减两个相隔半个周期的锯齿波会产生方波，而将它们相加则会产生频率加倍的锯齿波。锯齿波与对称性

因此，合成器的起始相位控制只有在能建立所需关系时才有用。要实现连续的 PWM，需要能在音符持续期间改变相对相位的参数，或者利用频率差让相位持续漂移。

设想两个形状相同、彼此错开部分周期的上升锯齿波。将其中一个从另一个中相减。在它们重置之间，两者以相同速率上升，因此差值保持不变。任一波形重置时，差值便跳到另一个电平。两个重置之间的间隔决定输出在每个电平上持续多久。这就是 Steffan Diedrichsen 合成说明中介绍的延迟锯齿波相减法。脉宽调制

以下给出一种明确的数学约定，用于预测结果。令 p 表示当前相位，取值从 0 到小于 1。将归一化上升锯齿波定义为 r(p) = 2 × frac(p) − 1，其中 frac 会将其参数折回到该区间。对于介于 0 和 1 之间的目标正脉冲占空比 D，构造 y = r(p − D) − r(p)。

根据此约定，输出在周期的前 D 部分为 2(1 − D)，其余部分为 −2D。因此，每个周期中正值部分恰好持续 D。下表数值是对范围为 −1 至 +1 的理想锯齿波所做的示例计算，并非对任何特定设备的测量结果。

正脉冲占空比	相对延迟	高电平	低电平
25%	四分之一个周期，即 90°	+1.5	−0.5
50%	半个周期，即 180°	+1.0	−1.0
75%	四分之三个周期，即 270°	+0.5	−1.5

在 25% 和 75% 占空比下，正负电平不相等，这是预期结果：在这种构造中，每个波形的平均值都为零。我对 1,000 个均匀分布的相位数值计算并检查了这三种情况。反转相减顺序会反转输出极性，因此设备显示的相位方向可能对应互补的正脉冲占空比。

当相对偏移为零时，两个极性相反的相同波形会完全抵消。这个端点适合校准，但无法提供持续的脉冲音。

如果你的设备提供匹配且相对相位可调的锯齿波输出，请按以下步骤操作。New Systems Instruments 的手册记录了相同的基本路由：一个正向混音输入、一个负向混音输入，并通过调整相位来设定脉冲宽度。Triphase Oscillator — 用户手册，修订版 1.01

1. 选择两个匹配的锯齿波信号。 使用共享振荡器核心，或能维持两者频率关系的软件振荡器结构。
2. 暂时关闭调制。 关闭相位随机化和额外声部，以便检查一对波形。
3. 将两个信号都路由到求和混音器。 设置抵消效果时，让信号路径保持线性。
4. 反转其中一路信号的极性。 使用负混音增益或专用反转器。另一路保持正向。
5. 在相位偏移为零时匹配两者的振幅。 调整电平，直到求和输出接近静音。
6. 将相对相位移至半个周期。 理想结果是高低电平持续时间相等的方波。
7. 将相位差调整至四分之一个周期左右。 确认一个部分变短时，另一个部分会变长。

如果有示波器，请检查求和信号。在固定偏移下，观察是否有两个近似水平的区段，并由过渡部分分隔。这样可以在通过滤波器或效果器听音之前，先进行明确检查。

旋钮位置相同并不一定代表信号振幅相同。零偏移抵消测试会检查完整信号路径，包括振荡器输出电平和混音器增益。测试通过后，固定这些增益，用相位来设定脉冲宽度。

将 LFO 应用到相对相位控制。作为一个起始示例，将相位关系的中心设为半个周期，并使用较慢的调制速率，例如 0.3 Hz。逐渐增加调制深度，直到脉冲从宽变窄，同时避免达到完全抵消。这些只是供你凭耳调整的起始设置，并非产品规格。

如果要设定明确的调制范围，可以按 D(t) = 0.5 + 0.2 × sin(2π × 0.3 × t) 表示前述约定，其中时间 t 的单位为秒。这样会让正脉冲占空比在 30% 至 70% 之间变化，并约每 3.33 秒完成一个调制周期。请将这个范围换算为你的设备所用的相位单位；不要假设所有相位输入采用相同的电压比例。

只移动一个锯齿波的相位，也会让一个脉冲边沿相对于另一个边沿移动。如果这样造成的音高变化超出预期，可以尝试让两个相位以相同幅度朝相反方向移动。Triphase 手册特别建议将同一个控制信号应用到两个相位输入，并为两者设置相反的衰减器极性，以减少基音音高的变化。Triphase Oscillator — 用户手册

在加入更多声音塑形之前，先设定脉冲宽度的变化范围。这样更容易判断音调变弱是因为接近抵消，还是由信号链后续环节造成。

可以。两个极性相反、频率略有差异的锯齿波，其相对相位会持续变化。Puckette 的 PWM 示例正是采用这种方法。如果合成器提供振荡器调音和极性反转，却没有连续相位控制，这种方法就很有用。组合锯齿波

每当频率差累积一个完整周期，相位关系就会推进一个完整周期。例如，示例中的两个频率为 100 Hz 和 100.2 Hz，频差为 0.2 Hz，因此它们的相对相位每隔 1 ÷ 0.2 = 5 秒重复一次。固定的频差由此会产生可预测的扫描周期。

这与等频率构造有一个细微的数学差异。对于归一化锯齿波，斜率与频率成正比。相减频率不同的锯齿波后，过渡之间会留下残余斜率；频差越小，结果越接近平顶脉冲。这可以直接通过对锯齿波公式的斜坡部分求导得出。

失谐也会扫过完整的相对相位周期，包括接近完全抵消的状态。直接调制相位则可以选择中心位置并限制变化范围。需要持续旋转的相位关系时，选择失谐；需要可重复的脉冲宽度范围时，选择相位控制。

检查系统能否从现有锯齿波生成移相后的锯齿波。Doepfer 记录了一种代数方法：将输入锯齿波与控制电压进行比较，然后以正确电平将所得矩形信号加回，从而获得移相后的锯齿波。控制电压决定实际移相量。A-137-2 Wave Multiplier II

如果合适的处理器能单独输出该移相后的锯齿波，就可以按上述方法将其与极性相反的原始信号混合。请先确认可用输出。Doepfer 对 A-137-2 的说明区分了求和输出和内部可用的独立信号；不要假设前面板的求和输出能单独提供移相后的锯齿波。A-137-2 Wave Multiplier II

由此可作出实际的设备选择：有独立相位输出时就使用它；可以接受完整扫描时，就将两个振荡器失谐；或者使用能单独输出信号的锯齿波移相处理器。所需功能是让匹配斜坡之间的关系可控。

从最简单的静态配置开始，逐步反向排查。以下检查基于抵消原理，有助于区分路由错误和有意调制。

观察到的现象	检查内容	下一步操作
零偏移时仍有明显锯齿波	极性和振幅匹配	确认一路为负向输入，然后微调电平以实现抵消
固定脉冲宽度下仍有倾斜区段	频率、增益和波形匹配	取消失谐，并比较两个信号源的信号
只有在音符起始时脉冲宽度才变化	起始相位行为	找到连续相位调制功能，或使用轻微失谐
声音周期性地几乎消失	调制已到达相位对齐的位置	减小调制深度或移动相位中心
加入第二个锯齿波后，听起来音高升高	两路混音信号可能极性相同	调整相位前先重新检查极性反转

在数字实现中，也要区分波形构造和音频渲染质量。数学上直接生成的锯齿波包含不连续点。SciPy 明确指出，其 sawtooth 函数并非带限函数，且其谐波会产生混叠；对两个这样的斜坡采样后再相减，并不能实现抗混叠。SciPy 锯齿波文档

对于音频速率的软件实现，请使用合适的带限振荡器方法，或使用带有降采样前滤波的过采样结构。Puckette 记录了生成锯齿波时采用过采样和拼接过渡段两种方法。请在目标音符和调制范围内检查结果，不要只依赖低音区的波形检查。锯齿波带限处理策略

分三个阶段构建声音：确认零偏移时能够抵消，在半周期相隔时形成方波，然后再让相对相位变化。按这个顺序操作，可以在每个阶段获得可靠的参照，让最终的 PWM 配置更容易控制。

• Triphase Oscillator — New Systems Instruments
• Triphase Oscillator — 用户手册，修订版 1.01
• 锯齿波与对称性 — Miller Puckette
• 脉宽调制 — Musicdsp.org，Steffan Diedrichsen
• 组合锯齿波 — Miller Puckette
• A-137-2 Wave Multiplier II — Doepfer
• sawtooth — SciPy 文档
• 锯齿波带限处理策略 — Miller Puckette