如何結合反極性鋸齒波來建立脈衝寬度調變

你需要兩個基本形狀相同、振幅相等、極性相反，且相位關係可調的鋸齒波訊號。若要產生精確的靜態脈衝，兩者的頻率也必須相同。一個訊號在重置之間上升，另一個則下降；相加時，兩者的斜率會互相抵消。

實用的配置包括一個可獨立調整相位輸出的鋸齒波訊號源、一個能將其中一個訊號從另一個訊號中相減的混音器，以及一個低頻振盪器（LFO）用於調變。或者，也可以使用兩個振盪器訊號源，並另外加上極性反轉器。Triphase Oscillator 是有文件記載的硬體實作之一：它提供相同音高、相位可獨立控制的鋸齒波輸出，以及雙極性混音器。Triphase Oscillator

極性反轉與相位偏移是兩種不同的操作。反轉會將每個取樣或電壓乘以 −1。相位偏移則會讓波形在週期內移動。鋸齒波平移半個週期本身並不會反轉其斜率。Puckette 對波形的分析指出，相減半週期相隔的鋸齒波會產生方波，而相加則會產生頻率加倍的鋸齒波。鋸齒波與對稱性

因此，合成器的起始相位控制只有在能建立所需關係時才有用。持續的 PWM 需要一個能在音符發聲期間改變相對相位的參數，或是利用頻率差讓相位逐漸偏移。

想像兩個相同的上升鋸齒波，彼此相隔週期的一部分。將其中一個從另一個中相減。在兩者重置之間，它們以相同速率上升，因此差值維持不變。任一波形重置時，差值就會跳到另一個電平。兩個重置點之間的間隔，決定了輸出維持在各電平的時間。Steffan Diedrichsen 的合成筆記描述了這種延遲鋸齒波相減法。脈衝寬度調變

以下提供一套明確的數學慣例，用來預測結果。令 p 表示目前相位，其範圍從 0 到小於 1。將正向上升鋸齒波正規化為 r(p) = 2 × frac(p) − 1，其中 frac 會將其引數折回該區間。若要得到正脈衝占空比 D（介於 0 和 1 之間），則建立 y = r(p − D) − r(p)。

依照此慣例，輸出在週期前 D 的部分為 2(1 − D)，其餘部分則為 −2D。因此，正向部分恰好占每個週期的 D。下列數值是以振幅範圍從 −1 到 +1 的理想鋸齒波進行的示例計算，並非任何特定樂器的測量結果。

正脈衝占空比	相對延遲	高電平	低電平
25%	四分之一週期，或 90°	+1.5	−0.5
50%	二分之一週期，或 180°	+1.0	−1.0
75%	四分之三週期，或 270°	+0.5	−1.5

25% 和 75% 占空比時正、負電平不相等是預期結果：在這種構造中，每個波形的平均值都是零。我以 1,000 個等間距相位數值對這三種情況進行了數值檢查。反轉相減順序會反轉輸出極性，因此裝置顯示的相位方向可能會得到互補的正向占空比。

相對偏移為零時，極性相反的相同波形會完全抵消。這個端點適合用於校準，但不會產生持續的脈衝音。

如果你的樂器提供匹配的鋸齒波輸出和可調的相對相位，請依照以下步驟操作。New Systems Instruments 的手冊記載了相同的基本路由方式：混音器中一個正向輸入、一個負向輸入，並透過調整相位設定脈衝寬度。Triphase Oscillator — 使用者手冊，修訂版 1.01

1. 選擇兩個匹配的鋸齒波訊號。 使用共用振盪器核心，或能維持兩者頻率關係的軟體振盪器架構。
2. 暫時停用調變。 關閉相位隨機化和額外聲部，以便檢查一組波形。
3. 將兩個訊號接到加總混音器。 設定抵消時，保持訊號路徑為線性。
4. 反轉其中一個輸入的極性。 使用負的混音器增益或專用反轉器，另一個輸入則保持正向。
5. 在零相位偏移時匹配兩者振幅。 調整電平，直到加總輸出接近靜音。
6. 將相對相位移至半個週期。 理想結果是高、低電平時間相等的方波。
7. 將相位差調至四分之一週期附近。 確認其中一個部分變短，另一個部分變長。

如果有示波器可用，請檢視加總訊號。在固定偏移下，觀察是否有兩段大致水平的區域，中間以轉換點相隔。這能讓你在透過濾波器或效果器聆聽之前，先有具體方式確認結果。

旋鈕位置相同不一定代表訊號振幅相同。零偏移抵消測試會檢查完整訊號路徑，包括振盪器輸出電平和混音器增益。測試成功後，保持增益不變，再用相位設定脈衝寬度。

將 LFO 套用至相對相位控制。舉例來說，可以將相位關係中心設在半個週期，並使用較慢的調變速率，例如 0.3 Hz。逐漸增加深度，直到脈衝從寬變窄，但不會完全抵消。這些是可依耳朵調整的起始設定，並非產品規格。

若要明確設定調變範圍，可將前述慣例寫成 D(t) = 0.5 + 0.2 × sin(2π × 0.3 × t)，其中時間 t 的單位為秒。這會使正向占空比在 30% 到 70% 之間掃動，約每 3.33 秒完成一個調變週期。將此範圍換算為樂器使用的相位單位；不要假設所有相位輸入採用相同的電壓比例。

只移動一個鋸齒波的相位，也會讓一個脈衝邊緣相對另一個邊緣移動。如果因此產生過多音高變化，可以試著讓兩個相位以相同幅度朝相反方向移動。Triphase 手冊特別建議將相同控制訊號套用至兩個相位輸入，並使用方向相反的衰減反轉器設定，以減少基頻音高的變化。Triphase Oscillator — 使用者手冊

加入其他音色塑形之前，先設定脈衝寬度範圍。如此一來，如果音色變弱，就更容易判斷是因為接近抵消，還是來自訊號鏈後段。

可以。兩個極性相反、頻率略有差異的鋸齒波，其相對相位會持續變化。Puckette 的 PWM 範例正是採用這種方法。如果合成器提供振盪器調音和極性反轉，但沒有連續相位控制，這種方法就很有用。結合鋸齒波

每當兩個頻率之差累積一個完整週期，相位關係就會前進一個完整週期。例如，舉例頻率 100 Hz 和 100.2 Hz 相差 0.2 Hz，因此兩者的相對相位每隔 1 ÷ 0.2 = 5 秒就會重複一次。固定的頻率差因此能提供可預測的掃動週期。

這與等頻率的構造在數學上略有不同。對正規化鋸齒波而言，斜率與頻率成正比。相減不同頻率的鋸齒波後，轉換點之間會留下殘餘斜率；頻率差越小，結果就越接近平頂脈衝。直接對鋸齒波公式中的斜坡部分微分即可得到這個結果。

失諧也會掃過整個相對相位週期，包括接近完全抵消的區域。直接調變相位則可以選擇中心位置並限制掃動範圍。若想要持續旋轉的相位關係，選擇失諧；若需要可重現的脈衝寬度範圍，則選擇相位控制。

確認你的系統能否從現有鋸齒波產生相位偏移版本。Doepfer 記載了一種代數方法：將輸入鋸齒波與控制電壓比較，再以適當電平將產生的矩形波加回去，即可得到相位偏移後的鋸齒波。控制電壓會設定實際偏移量。A-137-2 Wave Multiplier II

如果有合適的處理器能獨立輸出相位偏移後的鋸齒波，就可以依照上述方法，將它與極性相反的原始波形混合。請先確認可用的輸出。Doepfer 對 A-137-2 的說明區分了總和輸出與內部可用的個別訊號；不要假設前面板的總和輸出就是可獨立取得的相位偏移鋸齒波。A-137-2 Wave Multiplier II

因此，實際上可依設備選擇做法：有獨立相位輸出時就使用它；可以接受完整掃動時，就讓兩個振盪器失諧；或使用具有可存取個別訊號、且文件有明確說明的鋸齒波移相處理器。必要功能是能控制匹配斜坡波之間的相位關係。

從最簡單的靜態配置開始，逐步反向檢查。以下檢查依據抵消模型整理，可協助區分路由錯誤與刻意加入的調變。

觀察到的現象	檢查項目	下一步
零偏移時仍有明顯鋸齒波	極性和振幅匹配	確認其中一個輸入為負向，再微調電平使其抵消
固定脈衝寬度下仍有斜坡部分	頻率、增益和波形匹配	移除失諧，並比較兩個訊號源的訊號
只有在音符起始時脈衝寬度才改變	起始相位行為	尋找連續相位調變，或使用輕微失諧
聲音會週期性地幾乎消失	調變範圍碰到相位對齊的位置	降低深度或移動相位中心
加入第二個鋸齒波後，感覺音高提高	混音器的兩個輸入可能是相同極性	調整相位前，先重新檢查極性反轉

對數位實作而言，也要區分波形建構方式與音訊渲染品質。數學上直接產生的鋸齒波包含不連續點。SciPy 明確指出，其 sawtooth 函式並未限制頻帶，且其諧波會產生混疊；取樣兩個這類斜坡並將它們相減，並不能達到抗混疊效果。SciPy 鋸齒波文件

若要在軟體中實作音訊速率的訊號，請使用合適的限頻振盪器方法，或使用過度取樣並在降取樣前濾波的架構。Puckette 記載了兩種鋸齒波產生方法：過度取樣與轉換點拼接。請在預定的音高和調變範圍內檢查結果，不要只依據低音符的波形檢視來判斷。鋸齒波限頻策略

分三個階段建立聲音：在零偏移時確認抵消，在半週期相隔時建立方波，然後再讓相對相位動起來。這個順序能讓你在每個階段都有可靠的參考點，也讓最後的 PWM 配置更容易控制。

• Triphase Oscillator — New Systems Instruments
• Triphase Oscillator — 使用者手冊，修訂版 1.01
• 鋸齒波與對稱性 — Miller Puckette
• 脈衝寬度調變 — Musicdsp.org，Steffan Diedrichsen
• 結合鋸齒波 — Miller Puckette
• A-137-2 Wave Multiplier II — Doepfer
• 鋸齒波 — SciPy 文件
• 鋸齒波限頻策略 — Miller Puckette