विपरीत ध्रुवता वाली सॉ वेव्स को मिलाकर पल्स-विड्थ मॉड्यूलेशन कैसे बनाएँ

आपको एक ही मूल आकार वाले दो सॉ-टूथ सिग्नल चाहिए, जिनके आयाम समान हों, ध्रुवताएँ विपरीत हों और सापेक्ष फ़ेज़ समायोजित किया जा सके। सटीक स्थिर पल्स के लिए उनकी आवृत्ति भी समान होनी चाहिए। एक सिग्नल रीसेट के बीच ऊपर उठता है, जबकि दूसरा नीचे गिरता है; जोड़ने पर उनकी ढलानें एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।

एक उपयोगी सेटअप में स्वतंत्र रूप से समायोजित किए जा सकने वाले फ़ेज़ आउटपुट वाला सॉ-टूथ स्रोत, ऐसा मिक्सर जो एक सिग्नल को दूसरे से घटा सके, और मॉड्यूलेशन के लिए लो-फ़्रीक्वेंसी ऑसिलेटर (LFO) शामिल हैं। इसके बजाय, दो ऑसिलेटर स्रोत और एक अलग पोलैरिटी इन्वर्टर भी इस्तेमाल कर सकते हैं। Triphase Oscillator इस व्यवस्था का एक दस्तावेज़ित हार्डवेयर उदाहरण है: इसमें स्वतंत्र फ़ेज़ नियंत्रण वाले समान पिच के सॉ आउटपुट और बाइपोलर मिक्सर दिया गया है। Triphase Oscillator

ध्रुवता उलटना और फ़ेज़ ऑफ़सेट अलग-अलग प्रक्रियाएँ हैं। इन्वर्ज़न हर सैंपल या वोल्टेज को −1 से गुणा करता है। फ़ेज़ ऑफ़सेट वेवफ़ॉर्म को उसके चक्र के भीतर आगे-पीछे खिसकाता है। सॉ-टूथ वेव को आधा चक्र खिसकाने से उसकी ढलान अपने-आप उलटती नहीं है। Puckette के वेवफ़ॉर्म विश्लेषण से पता चलता है कि आधे चक्र के अंतर पर मौजूद सॉ वेव्स को घटाने से स्क्वेयर वेव बनती है, जबकि जोड़ने से दोगुनी आवृत्ति वाली सॉ बनती है। सॉ-टूथ वेव्स और सममिति

इसलिए, सिंथ का स्टार्टिंग-फ़ेज़ नियंत्रण तभी उपयोगी है जब वह आपके लिए ज़रूरी संबंध स्थापित करे। लगातार PWM के लिए ऐसे पैरामीटर की ज़रूरत होती है जो नोट बजते समय सापेक्ष फ़ेज़ बदले, या फिर आवृत्ति का ऐसा अंतर जो उस फ़ेज़ को धीरे-धीरे बदलता रहे।

कल्पना करें कि दो एक जैसी ऊपर उठती सॉ वेव्स चक्र के कुछ हिस्से के अंतर पर हैं। एक को दूसरी से घटाएँ। रीसेट के बीच दोनों एक ही दर से ऊपर उठती हैं, इसलिए उनका अंतर स्थिर रहता है। जब इनमें से कोई रीसेट होती है, तो अंतर दूसरे स्तर पर उछल जाता है। दोनों रीसेट के बीच की दूरी तय करती है कि आउटपुट प्रत्येक स्तर पर कितनी देर रहता है। यह Steffan Diedrichsen के सिंथेसिस नोट में बताई गई डिले की हुई सॉ को घटाने की विधि है। पल्स-विड्थ मॉड्यूलेशन

परिणाम का अनुमान लगाने के लिए यहाँ एक स्पष्ट गणितीय परिपाटी दी गई है। मान लें कि p वर्तमान फ़ेज़ है, जो 0 से शुरू होकर 1 से कम तक जाता है। सामान्यीकृत ऊपर उठती सॉ को r(p) = 2 × frac(p) − 1 के रूप में परिभाषित करें, जहाँ frac अपने आर्ग्युमेंट को उस अंतराल में लपेटता है। 0 और 1 के बीच वांछित धनात्मक-पल्स ड्यूटी साइकल D के लिए y = r(p − D) − r(p) बनाएँ।

इस परिपाटी के अनुसार, चक्र के पहले D हिस्से के दौरान आउटपुट 2(1 − D) होता है और बाकी समय −2D। इसलिए, धनात्मक हिस्सा हर चक्र के ठीक D तक रहता है। नीचे दिए गए मान −1 से +1 तक जाने वाली आदर्श सॉ वेव्स के लिए उदाहरणात्मक गणना हैं; ये किसी खास उपकरण के माप नहीं हैं।

धनात्मक ड्यूटी साइकल	सापेक्ष विलंब	उच्च स्तर	निम्न स्तर
25%	एक-चौथाई चक्र, या 90°	+1.5	−0.5
50%	आधा चक्र, या 180°	+1.0	−1.0
75%	तीन-चौथाई चक्र, या 270°	+0.5	−1.5

25% और 75% पर धनात्मक और ऋणात्मक स्तरों का असमान होना अपेक्षित है: इस निर्माण में हर वेवफ़ॉर्म का औसत शून्य होता है। मैंने 1,000 समान दूरी पर रखे फ़ेज़ मानों पर इन तीन मामलों की संख्यात्मक जाँच की। घटाने का क्रम उलटने पर आउटपुट की ध्रुवता उलट जाती है, इसलिए किसी उपकरण पर दिखाई गई फ़ेज़ दिशा के अनुसार धनात्मक ड्यूटी साइकल का पूरक रूप मिल सकता है।

सापेक्ष ऑफ़सेट शून्य होने पर एक जैसी विपरीत-ध्रुवता वाली वेव्स पूरी तरह निरस्त हो जाती हैं। यह सीमा कैलिब्रेशन के लिए उपयोगी है, लेकिन इससे लगातार सुनाई देने वाला पल्स टोन नहीं मिलता।

अगर आपके उपकरण में समायोज्य सापेक्ष फ़ेज़ वाले मेल खाते सॉ आउटपुट हैं, तो यह प्रक्रिया अपनाएँ। New Systems Instruments का मैनुअल इसी मूल रूटिंग का दस्तावेज़ीकरण करता है: मिक्सर में एक धनात्मक योगदान, एक ऋणात्मक योगदान और पल्स की चौड़ाई तय करने के लिए फ़ेज़ समायोजन। Triphase Oscillator — उपयोगकर्ता पुस्तिका, संशोधन 1.01

1. दो मेल खाते सॉ सिग्नल चुनें। साझा ऑसिलेटर कोर या ऐसा सॉफ़्टवेयर ऑसिलेटर ढाँचा इस्तेमाल करें जो उनकी आवृत्ति का संबंध बनाए रखे।
2. कुछ समय के लिए मॉड्यूलेशन हटाएँ। एक वेवफ़ॉर्म जोड़ी का आकलन करने के लिए फ़ेज़ रैंडमाइज़ेशन और अतिरिक्त वॉइस बंद करें।
3. दोनों सिग्नल समिंग मिक्सर से जोड़ें। निरस्तीकरण सेट करते समय उनके पथ लीनियर रखें।
4. एक योगदान की ध्रुवता उलटें। नेगेटिव मिक्सर गेन या समर्पित इन्वर्टर इस्तेमाल करें। दूसरे योगदान को धनात्मक रखें।
5. शून्य फ़ेज़ ऑफ़सेट पर उनके आयाम बराबर करें। स्तरों को तब तक समायोजित करें जब तक जोड़ा गया आउटपुट लगभग मौन न हो जाए।
6. सापेक्ष फ़ेज़ को आधे चक्र तक ले जाएँ। आदर्श परिणाम ऐसी स्क्वेयर वेव है जिसमें उच्च और निम्न स्तरों की अवधि बराबर हो।
7. एक-चौथाई चक्र के अंतर की ओर बढ़ें। पुष्टि करें कि एक हिस्सा छोटा और दूसरा लंबा हो रहा है।

अगर उपलब्ध हो, तो ऑसिलोस्कोप पर योग देखें। स्थिर ऑफ़सेट पर दो लगभग क्षैतिज हिस्से देखें, जिनके बीच ट्रांज़िशन हों। फ़िल्टर या इफ़ेक्ट के ज़रिए ध्वनि का आकलन करने से पहले इससे एक ठोस जाँच मिलती है।

नॉब की समान स्थितियों का मतलब ज़रूरी नहीं कि सिग्नल के आयाम भी समान हों। शून्य-ऑफ़सेट निरस्तीकरण जाँच में ऑसिलेटर आउटपुट स्तरों और मिक्सर गेन समेत पूरा सिग्नल पथ परखा जाता है। जाँच सफल होने के बाद उन गेन को स्थिर रखें और चौड़ाई तय करने के लिए फ़ेज़ का उपयोग करें।

सापेक्ष-फ़ेज़ नियंत्रण पर LFO लगाएँ। उदाहरण के लिए, संबंध को आधे चक्र के आसपास केंद्रित करें और मॉड्यूलेशन दर धीमी रखें, जैसे 0.3 Hz। गहराई धीरे-धीरे बढ़ाएँ, जब तक पल्स चौड़े से संकरे होने लगे; उसे पूर्ण निरस्तीकरण तक न पहुँचने दें। ये कान से समायोजित करने के शुरुआती मान हैं, उत्पाद विनिर्देश नहीं।

निश्चित मॉड्यूलेशन रेंज के लिए, पहले दी गई परिपाटी को D(t) = 0.5 + 0.2 × sin(2π × 0.3 × t) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ समय t सेकंड में है। इससे धनात्मक ड्यूटी साइकल 30% से 70% के बीच बदलता है और लगभग 3.33 सेकंड में एक मॉड्यूलेशन चक्र पूरा होता है। इस रेंज को अपने उपकरण की फ़ेज़ इकाइयों में बदलें; यह न मानें कि हर फ़ेज़ इनपुट में वोल्टेज स्केलिंग एक जैसी होती है।

केवल एक सॉ का फ़ेज़ बदलने से एक पल्स एज दूसरी के सापेक्ष खिसकता है। अगर इससे आपकी चाहत से अधिक पिच मूवमेंट होता है, तो दोनों फ़ेज़ को बराबर मात्रा में विपरीत दिशाओं में बदलकर देखें। Triphase मैनुअल में मूल आवृत्ति की पिच में कम बदलाव के लिए दोनों फ़ेज़ इनपुट पर समान नियंत्रण सिग्नल को विपरीत एटेन्यूवर्टर सेटिंग के साथ देने की खास सिफ़ारिश की गई है। Triphase Oscillator — उपयोगकर्ता पुस्तिका

आगे की साउंड शेपिंग जोड़ने से पहले चौड़ाई की रेंज सेट करें। इससे यह तय करना आसान होता है कि मंद पड़ती ध्वनि निरस्तीकरण के करीब पहुँचने से आ रही है या पैच के किसी बाद के चरण से।

हाँ। थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली विपरीत-ध्रुवता की दो सॉ वेव्स अपना सापेक्ष फ़ेज़ लगातार बदलती रहती हैं। Puckette के PWM उदाहरण में ठीक यही तरीका इस्तेमाल किया गया है। यह तब उपयोगी है जब सिंथ में ऑसिलेटर ट्यूनिंग और ध्रुवता उलटने की सुविधा हो, लेकिन लगातार फ़ेज़ नियंत्रण न हो। सॉ-टूथ वेव्स को मिलाना

आवृत्तियों के अंतर के हर चक्र पर फ़ेज़ संबंध एक पूरा चक्र आगे बढ़ता है। उदाहरण के लिए, 100 Hz और 100.2 Hz की उदाहरणात्मक आवृत्तियों में 0.2 Hz का अंतर है, इसलिए उनका सापेक्ष फ़ेज़ हर 1 ÷ 0.2 = 5 सेकंड में दोहरता है। इस तरह निश्चित आवृत्ति अंतर से स्वीप की अवधि का अनुमान लगाया जा सकता है।

समान-आवृत्ति वाले निर्माण से इसमें एक छोटा गणितीय अंतर है। सामान्यीकृत सॉ वेव्स के लिए ढलानें आवृत्ति के अनुपात में होती हैं। अलग-अलग आवृत्तियों वाली सॉ वेव्स को घटाने पर ट्रांज़िशन के बीच थोड़ी ढलान बची रहती है; अंतर कम होने पर परिणाम लगभग सपाट शीर्ष वाली पल्स जैसा हो जाता है। यह सॉ फ़ॉर्मूले के रैंप हिस्सों का अवकलन करने से सीधे सामने आता है।

डिट्यूनिंग सापेक्ष फ़ेज़ के पूरे चक्र में स्वीप करती है, जिसमें लगभग पूर्ण निरस्तीकरण भी शामिल है। सीधे फ़ेज़ मॉड्यूलेशन से आप केंद्र चुन सकते हैं और विचलन को सीमित कर सकते हैं। लगातार घूमता हुआ संबंध चाहिए तो डिट्यूनिंग चुनें; चौड़ाई की दोहराई जा सकने वाली रेंज चाहिए तो फ़ेज़ नियंत्रण चुनें।

देखें कि क्या आपका सिस्टम मौजूदा सॉ से एक खिसकी हुई सॉ बना सकता है। Doepfer एक बीजीय विधि का दस्तावेज़ीकरण करता है: आने वाली सॉ की तुलना एक कंट्रोल वोल्टेज से करें, फिर परिणामी आयताकार सिग्नल को सही स्तर पर वापस जोड़ें, ताकि खिसकी हुई सॉ मिले। कंट्रोल वोल्टेज प्रभावी शिफ़्ट तय करता है। A-137-2 Wave Multiplier II

अगर किसी उपयुक्त प्रोसेसर से वह खिसकी हुई सॉ अलग आउटपुट के रूप में मिलती है, तो ऊपर बताई विधि से उसे विपरीत-ध्रुवता वाली मूल सॉ के साथ मिला सकते हैं। पहले उपलब्ध आउटपुट की पुष्टि करें। Doepfer के A-137-2 विवरण में उसके सम किए गए आउटपुट और अंदरूनी तौर पर उपलब्ध अलग-अलग सिग्नलों में अंतर बताया गया है; यह न मानें कि फ़्रंट-पैनल सम में से खिसकी हुई सॉ अलग से प्राप्त की जा सकती है। A-137-2 Wave Multiplier II

इससे उपकरण चुनने का एक व्यावहारिक तरीका मिलता है: उपलब्ध होने पर स्वतंत्र फ़ेज़ आउटपुट इस्तेमाल करें, पूरा स्वीप स्वीकार्य हो तो दो ऑसिलेटर डिट्यून करें, या अलग सिग्नल उपलब्ध कराने वाले दस्तावेज़ित सॉ-शिफ़्टिंग प्रोसेसर का उपयोग करें। ज़रूरी फ़ंक्शन मेल खाते रैंप के बीच नियंत्रित संबंध बनाना है।

सबसे सरल स्थिर पैच से पीछे की ओर जाँच करें। नीचे दिए गए तरीक़े निरस्तीकरण मॉडल पर आधारित हैं और रूटिंग की गड़बड़ी को जानबूझकर किए गए मॉड्यूलेशन से अलग करने में मदद करते हैं।

आपको क्या दिखता है	क्या जाँचें	अगला कदम
शून्य ऑफ़सेट पर तेज़ सॉ बची रहती है	ध्रुवता और आयाम का मेल	पुष्टि करें कि एक योगदान ऋणात्मक है, फिर निरस्तीकरण के लिए स्तर समायोजित करें
स्थिर चौड़ाई पर ढलानदार हिस्से	आवृत्ति, गेन और वेवफ़ॉर्म का मेल	डिट्यूनिंग हटाएँ और दोनों स्रोत सिग्नलों की तुलना करें
चौड़ाई सिर्फ़ नोट शुरू होने पर बदलती है	स्टार्टिंग-फ़ेज़ का व्यवहार	लगातार फ़ेज़ मॉड्यूलेशन खोजें या थोड़ी डिट्यूनिंग इस्तेमाल करें
ध्वनि समय-समय पर लगभग गायब हो जाती है	मॉड्यूलेशन संरेखित फ़ेज़ तक पहुँचता है	गहराई घटाएँ या फ़ेज़ केंद्र बदलें
दूसरी सॉ जोड़ने पर सुनाई देने वाली पिच बढ़ती है	संभव है कि मिक्सर में दोनों योगदानों की ध्रुवता समान हो	फ़ेज़ समायोजित करने से पहले इन्वर्ज़न फिर जाँचें

डिजिटल कार्यान्वयन में वेवफ़ॉर्म निर्माण और ऑडियो रेंडरिंग की गुणवत्ता के बीच भी अंतर समझें। गणितीय रूप से सीधे बनाए गए सॉ वेवफ़ॉर्म में असंततियाँ होती हैं। SciPy स्पष्ट रूप से बताता है कि उसका sawtooth फ़ंक्शन बैंड-लिमिटेड नहीं है और उसके हार्मोनिक्स एलियास होते हैं; ऐसी रैंप वेव्स को सैंपल करके घटाने से एंटी-एलियासिंग विधि नहीं मिलती। SciPy सॉ-टूथ दस्तावेज़

ऑडियो-रेट सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त बैंड-लिमिटेड ऑसिलेटर विधि या ऐसा ओवरसैंपल्ड ढाँचा इस्तेमाल करें जिसमें डाउनसैंपलिंग से पहले फ़िल्टरिंग हो। Puckette ने सॉ जनरेशन के लिए ओवरसैंपलिंग और ट्रांज़िशन-स्प्लाइसिंग, दोनों तरीक़ों का दस्तावेज़ीकरण किया है। परिणाम को लक्षित नोट और मॉड्यूलेशन रेंज में जाँचें; केवल कम पिच पर वेवफ़ॉर्म देखकर भरोसा न करें। सॉ-टूथ वेव्स को बैंड-लिमिट करने की रणनीतियाँ

इस ध्वनि को तीन चरणों में बनाएँ: शून्य ऑफ़सेट पर निरस्तीकरण की पुष्टि करें, आधे चक्र के अंतर पर स्क्वेयर वेव बनाएँ, फिर सापेक्ष फ़ेज़ में बदलाव लाएँ। इस क्रम से हर चरण पर एक भरोसेमंद संदर्भ मिलता है और अंतिम PWM पैच को नियंत्रित करना आसान होता है।

• Triphase Oscillator — New Systems Instruments
• Triphase Oscillator — उपयोगकर्ता पुस्तिका, संशोधन 1.01
• सॉ-टूथ वेव्स और सममिति — Miller Puckette
• पल्स-विड्थ मॉड्यूलेशन — Musicdsp.org, Steffan Diedrichsen
• सॉ-टूथ वेव्स को मिलाना — Miller Puckette
• A-137-2 Wave Multiplier II — Doepfer
• sawtooth — SciPy दस्तावेज़
• सॉ-टूथ वेव्स को बैंड-लिमिट करने की रणनीतियाँ — Miller Puckette