Rita bredd, höjd och djup på en plan sida

En dimension beskriver en riktning som ett objekt sträcker sig i. För en låda som står på ett bord kan bredd betyda dess utsträckning från vänster till höger, höjd dess utsträckning nerifrån och upp och djup dess utsträckning framifrån och bakåt. Benämningarna beror på hur objektet är orienterat och betraktas. Vrid på lådan, så kan den riktning du kallar bredd se ut att vara vertikal. Ange betraktningsvinkeln för tydlighetens skull, till exempel ”bredd längs framsidan, höjd uppåt och djup bort från betraktaren”.

De tre måtten behöver inte vara lika stora. En låda som är 6 enheter bred, 4 enheter hög och 3 enheter djup har tre olika sidlängder. På en teckning kan framsidan visas som en rektangel som är 6 enheter bred och 4 enheter hög. Djupet visas genom att rita kanter som går bort från framsidan och sammanfoga ändarna så att baksidan formas.

Ett bra sätt att hålla reda på riktningarna är att tänka sig tre vinkelräta axlar som möts i ett hörn. x-axeln kan ange bredd, y-axeln höjd och z-axeln djup. Det är ett val av beteckningar: axlarna kan tilldelas på andra sätt, så länge konventionen är konsekvent. I NASA:s koordinatlektion beskrivs en punkt i tredimensionella kartesiska koordinater med tre värden, x, y och z, längs tre vinkelräta axlar. Sidan är arkiverad och NASA uppger att den inte längre uppdateras; koordinatförklaringen är användbar här som en grundläggande geometrireferens.

Ett 3D-objekt upptar utrymme och har utsträckning längs tre oberoende riktningar. En teckning på papper ligger på en plan yta, så markeringarna kan bara variera i två oberoende riktningar: åt sidorna och uppåt eller nedåt på sidan. Skissen antyder den tredje riktningen med hjälp av perspektiv eller en vinklad ritkonvention. Den sneda linjen ligger fortfarande plant på papperet; den representerar en kant som du föreställer dig sträcka sig in i eller ut från objektet.

Den skillnaden spelar roll när du mäter. I en sned projektion kan du rita alla djupkanter med samma vinkel och förkortad längd så att lådan får plats tydligt på sidan. Det gör teckningen lätt att läsa, men den sneda linjens längd på papperet behöver inte motsvara lådans verkliga djup. En perspektivteckning har egna regler för hur parallella kanter ser ut att mötas vid en punkt. Om teckningen inte anger en skala och en projektionsmetod bör du använda den för att förmedla formen, inte för att härleda exakta mått från de skenbara längderna.

En platt bild kan också utelämna information. En vy av bara lådans framsida kan visa bredd och höjd, men inte avslöja djupet. En andra vy, ett utmärkt mått eller en tredimensionell skiss kan ge den information som den första vyn saknar. En teckning är alltså en representation: den väljer ut och kodar information om objektet i stället för att ge betraktaren hela den rumsliga upplevelsen av objektet.

Du behöver ett pappersark och en penna. Välj ett hörn av sidan där det finns tillräckligt med utrymme runtom. Rita försiktigt en vågrät linje åt höger för bredd, en lodrät linje uppåt för höjd och en diagonal linje snett uppåt åt höger för djup. Dessa tre linjer utgör en enkel uppsättning ritningsriktningar; den diagonala djup­riktningen är vald så att du kan se en ovansida och en sidoyta.

Skapa nu en låda med hjälp av ett koordinatexempel. Tänk dig att det närmaste nedre hörnet är origo, skrivet (0, 0, 0), och att det bortre övre hörnet är (4, 3, 2). I det här exemplet motsvarar en enhet längs x-axeln en enhet i bredd, en enhet längs y-axeln en enhet i höjd och en enhet längs z-axeln en enhet i djup. Siffrorna är exempel och anger inte måtten på ett verkligt objekt.

Rita från origo de tre kanterna till de närliggande hörnen: fyra enheter längs x till (4, 0, 0), tre enheter längs y till (0, 3, 0) och två enheter längs z till (0, 0, 2). Välj en praktisk ritningsskala, till exempel en halv tum per enhet. Rita x-kanten 2 tum åt höger på sidan, y-kanten 1,5 tum uppåt och z-kanten 1 tum diagonalt snett uppåt åt höger. Riktningarna på sidan är en skisskonvention; den diagonala linjen betyder inte att den fysiska djupriktningen bokstavligen är diagonal i lådan.

Färdigställ den synliga lådan genom att rita kanter parallellt med de tre startkanterna. Från (4, 0, 0) ritar du en kant på 3 enheter parallellt med y. Från (0, 3, 0) ritar du en kant på 4 enheter parallellt med x. Dessa når (4, 3, 0) och ramar in den främre rektangeln. Rita sedan djupkanter från dess hörn, alla parallella med din första diagonal och lika långa på teckningen, så att de kopplas till motsvarande hörn på baksidan. Om en kant skulle döljas bakom en synlig yta kan du antingen utelämna den eller rita den tunt som en dold kant och sedan märka ut ditt val.

Lägg till beteckningar: bredd = 4 enheter, höjd = 3 enheter, djup = 2 enheter. Beteckningarna beskriver det föreställda objektet, medan linjelängderna på papperet följer den valda skalan och skisskonventionen. Om du använder en annan vinkel eller förkortar djupkanterna för att göra bilden tydligare ska du behålla beteckningarna; skissen kan fortfarande beskriva samma låda.

En koordinattrippel anger en punkts position i förhållande till ett valt origo och valda axlar. I exemplet betyder (4, 3, 2) att det bortre övre hörnet ligger 4 enheter längs x, 3 längs y och 2 längs z från origo. Även tecknen spelar roll: en negativ koordinat betyder att punkten ligger på motsatt sida om axelns nollposition. Ett diagram hjälper dig att se hur delarna är placerade, medan koordinater anger numeriska positioner i det specificerade koordinatsystemet.

Koordinater ska inte förväxlas med en tecknings beteckningar för bredd, höjd och djup. Koordinater anger punkters positioner; dimensioner anger avstånd mellan delar av ett objekt. Exempelvis är koordinatskillnaden mellan (0, 0, 0) och (4, 0, 0) 4 enheter längs x, vilket ger längden på den kanten i det här exemplet. Om origo eller axlarnas riktningar ändras kan koordinatvärdena ändras även om lådan förblir densamma.

Det finns ett annat sätt att bestämma en punkts position: mät avstånden till kända referenspunkter. NASA JPL:s lektion om att spåra rymdfarkoster med trilateration beskriver hur avståndsinformation kan ringa in en plats. I en plan tvådimensionell illustration innebär ett känt avstånd att punkten ligger någonstans på en cirkel runt en referenspunkt; en andra cirkel kan ge två möjliga skärningspunkter, och en tredje kan identifiera en plats i lektionens förenklade diagram. I tre dimensioner beskriver ett fast avstånd från en referenspunkt en sfär; när avstånd kombineras begränsas platsen till skärningspunkterna mellan motsvarande sfärer. Detta är en matematisk skillnad: koordinater anger en punkt med axelvärden, medan trilateration beräknar en punkt utifrån avstånd. Den verkliga rymdfarkostspårningen omfattar fler system och metoder än pennskissen, så förklaringen med cirklar och sfärer är en geometrisk modell och inte en fullständig beskrivning av operativ spårning.

Innan du är klar bör du kontrollera att dina tre måttbeteckningar avser tre konsekventa riktningar, att parallella lådkanter förblir parallella enligt din valda ritkonvention och att koordinatsystemets origo är tydligt. Om en klasskamrat kan peka ut framsidan, ovansidan och djupkanterna och förklara vilken dimension varje del representerar, fyller skissen sin funktion. Kom ihåg den viktiga skillnaden: lådan sträcker sig i tre dimensioner; sidan återger en tvådimensionell vy som förmedlar utvald information om den.

En egen övning med en låda och penna kopplar fysiskt djup till markeringar på ett plant ark. De angivna källorna stöder de namngivna uppgifterna; checklistan och övningen är egna redaktionella tillämpningar.