كيفية صنع مخروط ورقي مبتور مستقيم من مقاطع أفقية

المقطع الأفقي شريحة موازية للحافة السفلية. في جذع المخروط الدائري القائم، يتغير نصف القطر خطيًا مع الارتفاع. لذلك، يجب أن تتساوى تغيرات القطر في المقاطع المتباعدة بمسافات ارتفاع متساوية. وينتج ذلك عن العلاقة بين نصف القطر والارتفاع الواردة في «جذع المخروط» لدى ولفرام ماث وورلد.

ابدأ بتسجيل ارتفاع كل مقطع فوق القاعدة وقطره. وحّد وحدات القياس، وقِس الارتفاع رأسيًا على امتداد المحور لا على طول الجانب المائل.

إليك جدول المقاطع التوضيحي المستخدم في هذا الدليل:

الارتفاع فوق القاعدة	قطر المقطع	نصف قطر المقطع
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52.5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37.5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

يؤدي كل ارتفاع بمقدار 10 mm إلى انخفاض القطر بمقدار 15 mm، لذا تصف هذه المقاطع تضيقًا مستقيمًا. إذا كانت المسافات بين مقاطعك غير متساوية، فقارن مقدار تغير القطر لكل مليمتر من الارتفاع. يجب أن تتطابق هذه المعدلات كي تصف المقاطع مخروطًا مستقيمًا واحدًا.

يجب أيضًا أن تقع مراكز المقاطع على محور رأسي واحد. إذا انزاحت المراكز جانبيًا أو تغير القطر بمعدلات مختلفة، فلن يعيد المخطط البسيط ذو الأقواس المتحدة المركز أدناه إنتاج الشكل المعطى. عالج هذه الاختلافات قبل رسم المخطط النهائي.

للنموذج الأولي، جهّز ورقًا سهل اللف، وقلم رصاص، ومسطرة، وفرجارًا، ومنقلة، ومقصًا، ولاصقًا ورقيًا أو شريطًا لاصقًا على الوجهين. استخدم ورقة تتسع للمخطط كاملًا ولسان الوصل. تساعدك تجربة على ورق خردة على التحقق من التخطيط قبل استخدام الورق الذي اخترته للتشطيب.

حدّد الأبعاد التالية:

• R: نصف قطر الفتحة الأكبر، أي السفلية.
• r: نصف قطر الفتحة الأصغر، أي العلوية.
• h: المسافة الرأسية بين الفتحتين.

في المثال، R = 60 mm وr = 30 mm وh = 40 mm. هذه أبعاد سطح مثالية؛ إذ تفترض الحسابات أن سُمك الورق لا يُذكر. إذا كان يجب أن يطابق الغلاف النهائي جسمًا آخر بإحكام، فاختبره بالورق الفعلي واضبط الملاءمة قبل صنع النسخة النهائية.

ارسم مسقطًا جانبيًا بالحجم الكامل: شبه منحرف متمركز، حافته السفلية 120 mm، والعلوية 60 mm، والمسافة بينهما 40 mm. مدّ الضلعين المائلين إلى الأعلى حتى يلتقيا. نقطة التقاطع هي قمة المخروط الأصلي. ويُعد رسم المسقط مع القمة أيضًا نقطة البداية في درس إنشاء «جذع مخروط» لبراين كوي.

المسافة على امتداد الجانب المائل أطول من الارتفاع الرأسي. سمِّ هذه المسافة المائلة s. بالنسبة إلى جذع المخروط الدائري القائم، s = √[h² + (R − r)²]، كما هو موضح في هندسة جذع المخروط لدى ولفرام ماث وورلد.

في المثال:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

يحتاج المخطط إلى نصفَي قطر يُقاسان من مركز مشترك O. وهما مسافتان من قمة المخروط الأصلي على امتداد سطحه، وليستا نصفَي قطري فتحتيه الدائريتين. سمِّ نصف قطر المخطط الأكبر L والأصغر l.

وفقًا لتشابه المثلثات، L/l = R/r. والفرق بينهما هو المسافة المائلة لجذع المخروط، أي L − l = s. وينتج عن حل العلاقتين:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

لذلك، يحتاج المثال إلى L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm، وإلى l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. والفرق بينهما، وهو 50 mm، يطابق المسافة المائلة المحسوبة.

بعد ذلك، احسب زاوية القطاع المحتفظ به، θ:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

تجعل هذه الزاوية طول قوس المخطط الخارجي مساويًا لمحيط القاعدة. يشرح درس «تطوير سطح مخروط دائري قائم» الأصلي من NPTEL إنشاء القطاع نفسه بالاستناد إلى المحيط. ويؤدي حذف قطاع المخروط الصغير إلى مخطط جذع المخروط.

في هذا المثال، θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. احتفظ بالجزء ذي الزاوية 216° من الحلقة. أما الإسفين الناقص فزاويته 360° − 216° = 144°. دوّن القيمتين على الرسم كي لا تحتفظ بالإسفين الأصغر عن طريق الخطأ.

توفر لك المقاطع الوسطية خطوط محاذاة مفيدة. عند ارتفاع z فوق القاعدة، يكون نصف قطر المقطع:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

وباستخدام نسبة التشابه نفسها المستخدمة في حسابات الحافتين، تكون المسافة المقابلة له من مركز المخطط O:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

القيم التالية محسوبة من الأبعاد التوضيحية، وتحدد موضع كل مقطع أفقي على الورقة المسطحة:

الارتفاع فوق القاعدة	قطر المقطع بعد التجميع	نصف قطر قوس المخطط من O
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87.5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62.5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

ارسم الأقواس الوسطية بخفة على مسافات 87.5 و75 و62.5 mm من O. وبعد التجميع، تمثل مستويات أفقية على ارتفاع 10 و20 و30 mm فوق القاعدة. اتركها كخطوط إرشادية بالقلم الرصاص؛ فقَصّها سيقسم الغلاف إلى شرائط منفصلة.

لاحظ أن الفاصل الرأسي البالغ 10 mm يصبح فاصلًا مقداره 12.5 mm في الاتجاه الشعاعي للمخطط المسطح. وهذا الاختلاف هو سبب إعطاء نقل المسافات الرأسية بين المقاطع مباشرة إلى السطح المائل ارتفاعًا غير صحيح.

استخدم الزاوية المحسوبة لرسم قطاع دقيق بدلًا من تقدير طوله بتكرار خطوات الفرجار. يشرح «تطوير المخطط بخطوط شعاعية» لكوي شرط المحيط، ويشير إلى أن أساليب قياس الطول بخطوات متتابعة تقلل الدقة.

1. حدّد المركز O مع ترك مساحة كافية حوله لنصف قطر مقداره 100 mm.
2. ارسم دائرتين أو قوسين متحدَي المركز، بنصفَي قطر 100 mm و50 mm.
3. ارسم حدّين شعاعيين يحيطان بقطاع الزاوية المحتفظ به، أي 216°. وبمنقلة نصف دائرية، حدّد الإسفين المكمل ذا الزاوية 144° واكتب عليه أنه سيُزال.
4. أضف أقواس المقاطع الوسطية الثلاثة الواردة في الجدول.
5. احتفظ بالمساحة الحلقية بين قوسي 50 mm و100 mm ضمن القطاع المطلوب.
6. أضف لسان وصل خارج أحد الحدين الشعاعيين. في هذا النموذج التجريبي، يُعد لسان بعرض يقارب 8 mm نقطة بداية عملية، لا جزءًا من الحساب الهندسي.
7. قص القوس الخارجي، والقوس الداخلي، والحافة الشعاعية المقابلة، ومحيط اللسان.

أبقِ الحد الشعاعي الأصلي ظاهرًا عند اتصال اللسان بالمخطط. هذا هو خط محاذاة الوصلة. قلّم طرفَي اللسان قليلًا عند قوسي الحافتين كيلا يبرز اللسان وراء الفتحتين بعد تشكيل الغلاف.

القوسان متحدا المركز أساسيان: إذ يستخدم إنشاء جذع المخروط لدى كوي أيضًا طولَي الميل الكبير والصغير انطلاقًا من نقطة مركزية مشتركة. أما شبه المنحرف المرسوم مباشرة من المسقط الجانبي فليس هو السطح المفرد بعد بسطه.

اثنِ الورقة برفق على امتداد عرض القطاع لتأخذ انحناءً تدريجيًا. تجنب تجعيد السطح الرئيسي؛ إذ ينبغي أن ينحني الغلاف النهائي حول محيطه مع بقائه مستقيمًا على طول كل خط مائل بين الحافتين.

حاذِ الحافة الشعاعية التي لا تحمل لسانًا مع خط المحاذاة عند قاعدة اللسان. ضع اللسان تحت الحافة المقابلة. ثبّت الوصلة مؤقتًا، ثم تحقق من التقاء نهايتي القوسين الداخلي والخارجي ومن استمرار كل خط مقطع وسطي عبر الوصلة.

لا تجعل المخطط الرئيسي يتجاوز خط المحاذاة عند الوصلة بغرض جعلها تبدو أضيق. فالقطاع المحتفظ به يحتوي بالفعل على المحيط المطلوب؛ وأي تداخل إضافي يصغّر حجم الفتحتين. ضع اللاصق على اللسان فقط، وأعد محاذاة الوصلة، ثم ثبّتها وفقًا لتعليمات اللاصق.

في هذا المثال التطبيقي، يبلغ طول القوس الخارجي المحسوب نحو 376.99 mm، وهو ما يطابق π × 120 mm. ويبلغ طول القوس الداخلي نحو 188.50 mm، وهو ما يطابق π × 60 mm. تؤكد هذه القيم المحسوبة أبعاد المخطط؛ وليست قياسات لنموذج مكتمل.

ضع الحافة الأكبر على سطح مستوٍ، وتحقق من الارتفاع العمودي إلى الحافة الأصغر. في المثال، ينبغي أن يبلغ هذا الارتفاع نحو 40 mm، بينما ينبغي أن تبلغ المسافة على امتداد السطح المائل نحو 50 mm. قِس قطر كل فتحة عبر مركزها في أكثر من اتجاه للتحقق من استدارتها.

ما تلاحظه	ما تتحقق منه بعد ذلك
الفتحتان أصغر من اللازم	تحقق من زاوية القطاع المحتفظ به ومن وجود تداخل زائد عند الوصلة.
الفتحتان أكبر من اللازم	تحقق من وجود فجوة في الوصلة أو أن زاوية القطاع المحتفظ به أكبر من اللازم.
المسافة المائلة صحيحة لكن الارتفاع الرأسي خاطئ	أعد فحص قطري الفتحتين وتوازِي الحافتين.
خطوط المقاطع لا تلتقي عند الوصلة	تحقق من محاذاة الحافتين الشعاعيتين من دون انزلاق طولي.
للغلاف زوايا أو أوجه مسطحة	تحقق مما إذا كانت الورقة قد جُعّدت على خطوط الإنشاء.

إذا كان R مساويًا لـ r، فالشكل أسطوانة، وهذه الصيغ تقسم على صفر؛ لذا استخدم مستطيلًا طوله المحيط وعرضه الارتفاع. وإذا كان r يساوي صفرًا، تختفي الفتحة الأصغر ويصبح المخطط قطاعًا كاملًا لمخروط. وعندما يكون التضيق طفيفًا جدًا، يصغر الفرق R − r ويقع مركز المخطط بعيدًا، ما يجعل التخطيط اليدوي بالفرجار مرهقًا. يشير درس الخطوط الشعاعية من BCcampus إلى أن سهولة الوصول إلى نقطة نصف قطر مناسبة شرط عملي لهذه الطريقة.

يبدأ التنفيذ الناجح بمقاطع أفقية متسقة، ويستخدم المسافات المائلة للمخطط المسطح، ويغلق عند الوصلة المحددة. احتفظ بجدول المقاطع وأبعاد المخطط معًا كي تتمكن من إعادة صنع المخروط أو تغيير حجمه من دون إعادة بناء الحسابات الهندسية.

• جذع المخروط — تطوير المخططات: الصفائح المعدنية، المستوى الأول، براين كوي
• تطوير المخطط بخطوط شعاعية — تطوير المخططات: الصفائح المعدنية، المستوى الأول، براين كوي
• المحاضرة 36: تطوير أسطح المجسّمات المبتورة — تطوير سطح مخروط دائري قائم، NPTEL
• جذع المخروط — ولفرام ماث وورلد