Como construir um cone de papel reto truncado a partir de seções horizontais

Uma seção horizontal é um corte paralelo à borda inferior. Em um tronco de cone circular reto, o raio varia linearmente com a altura. Portanto, seções em intervalos iguais de altura devem apresentar variações iguais de diâmetro. Isso decorre da relação entre raio e altura apresentada em “Conical Frustum”, do Wolfram MathWorld.

Comece anotando a altura de cada seção em relação à base e seu diâmetro. Mantenha as unidades consistentes e meça a altura verticalmente ao longo do eixo, e não pela lateral inclinada.

Veja a tabela de seções ilustrativa usada ao longo deste guia:

Altura em relação à base	Diâmetro da seção	Raio da seção
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52,5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37,5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

A cada aumento de 10 mm na altura, o diâmetro diminui 15 mm; portanto, essas seções descrevem uma inclinação reta. Se o espaçamento entre suas seções não for uniforme, compare a variação do diâmetro por milímetro de altura. Essas taxas devem ser iguais para formar um único cone reto.

Os centros das seções também devem ficar sobre um mesmo eixo vertical. Se os centros se deslocarem para os lados ou se o diâmetro variar em taxas diferentes, o molde de arcos concêntricos a seguir não reproduzirá a forma fornecida. Resolva essas diferenças antes de desenhar o molde definitivo.

Para o modelo inicial, reúna papel que enrole com facilidade, lápis, régua, compasso, transferidor, tesoura e cola para papel ou fita dupla-face. Use uma folha grande o bastante para o molde completo e sua aba de união. Um teste com papel descartável ajuda a conferir o desenho antes de usar o material escolhido para o acabamento.

Defina estas dimensões:

• R: raio da abertura maior, na base.
• r: raio da abertura menor, no topo.
• h: distância vertical entre essas aberturas.

No exemplo, R = 60 mm, r = 30 mm e h = 40 mm. Estas são dimensões ideais da superfície: o cálculo considera desprezível a espessura do papel. Se a estrutura pronta precisar encaixar perfeitamente em outro objeto, teste com o papel real e ajuste o encaixe antes de fazer a versão definitiva.

Desenhe uma vista lateral em tamanho real: um trapézio centralizado, com base inferior de 120 mm, base superior de 60 mm e 40 mm de distância entre elas. Prolongue as duas laterais inclinadas para cima até que se encontrem. Esse ponto de encontro é o vértice do cone original. Desenhar a vista com o vértice também é o ponto de partida da lição de construção “Frustum of a Cone”, de Brian Coey.

A distância ao longo da lateral inclinada é maior que a altura vertical. Chamaremos essa distância inclinada de s. Para um tronco de cone circular reto, s = √[h² + (R − r)²], conforme descrito na geometria de troncos de cone do Wolfram MathWorld.

No exemplo:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

O molde precisa de dois raios medidos a partir de um centro comum, O. Essas distâncias partem do vértice do cone original e seguem pela superfície — não são os raios das aberturas circulares. Chamaremos o raio maior do molde de L e o menor de l.

Por semelhança de triângulos, L/l = R/r. A diferença entre eles é a distância inclinada do tronco, então L − l = s. Resolvendo essas duas relações, temos:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

Portanto, no exemplo, L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm, e l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. A diferença de 50 mm entre eles corresponde à distância inclinada calculada.

Em seguida, calcule o ângulo do setor a manter, θ:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

Esse ângulo faz com que o arco externo do molde tenha o mesmo comprimento da circunferência da base. A lição original da NPTEL, “Development of a Right Circular Cone”, apresenta a mesma construção de setor baseada na circunferência. Ao remover o setor do cone menor, resta o molde do tronco.

Neste exemplo, θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. Mantenha a parte de 216° do anel. A abertura que falta mede 360° − 216° = 144°. Anote os dois valores no desenho para não manter por engano o setor menor.

As seções intermediárias fornecem linhas de referência úteis. Na altura z acima da base, o raio da seção é:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

Usando a mesma razão de semelhança dos cálculos das bordas, a distância correspondente a partir do centro O do molde é:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

Os valores a seguir foram calculados com as dimensões ilustrativas. Eles indicam onde cada seção horizontal aparece na folha plana:

Altura em relação à base	Diâmetro da seção pronta	Raio do arco no molde, a partir de O
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87,5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62,5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Trace levemente os arcos intermediários a 87,5, 75 e 62,5 mm de O. Depois de montar a peça, eles indicarão os níveis horizontais de 10, 20 e 30 mm acima da base. Mantenha-os como guias a lápis; cortá-los dividiria a estrutura em faixas separadas.

Observe que um intervalo vertical de 10 mm corresponde a um intervalo de 12,5 mm na direção radial do molde plano. Essa diferença explica por que transferir o espaçamento vertical das seções diretamente para a superfície inclinada resulta em uma altura incorreta.

Use o ângulo calculado para desenhar o setor com precisão, em vez de estimar seu comprimento com marcações repetidas do compasso. Em “Radial Line Pattern Development”, Coey explica o requisito da circunferência e observa que métodos de marcação por passos têm limitações de precisão.

1. Marque o centro O, deixando espaço suficiente ao redor para um raio de 100 mm.
2. Desenhe círculos ou arcos concêntricos com raios de 100 mm e 50 mm.
3. Trace duas linhas radiais que delimitem o setor de 216° a manter. Com um transferidor de 180°, marque o setor complementar de 144° e identifique-o para remoção.
4. Acrescente os três arcos intermediários da tabela.
5. Mantenha dentro do setor escolhido a área em forma de anel entre os arcos de 50 mm e 100 mm.
6. Acrescente uma aba de união fora de uma das bordas radiais. Para este modelo de teste, uma aba de aproximadamente 8 mm é um ponto de partida prático, mas não faz parte do cálculo geométrico.
7. Recorte o arco externo, o arco interno, a outra borda radial e o contorno da aba.

Mantenha visível a linha radial original onde a aba se une ao molde. Essa é a linha de referência da emenda. Recue um pouco as extremidades da aba em relação aos dois arcos das bordas para que ela não ultrapasse as aberturas prontas.

Os dois arcos concêntricos são essenciais: a construção de um tronco de cone de Coey também usa os comprimentos inclinados maior e menor a partir de um ponto central comum. Um trapézio copiado diretamente da vista lateral não representa a superfície planificada.

Enrole o papel suavemente ao longo da largura do setor, formando uma curva gradual. Evite vincar a superfície principal: a estrutura pronta deve se curvar ao redor da circunferência, mantendo retas as linhas inclinadas entre uma borda e a outra.

Alinhe a borda radial sem aba à linha de referência na base da aba. Coloque a aba por baixo da borda oposta. Prenda a emenda temporariamente e confira se as extremidades dos arcos interno e externo se encontram e se cada linha de seção intermediária continua do outro lado da união.

Não sobreponha a parte principal do molde além da linha de referência para deixar a emenda mais justa. O setor mantido já contém a circunferência necessária; qualquer sobreposição adicional reduz o tamanho das aberturas. Aplique adesivo somente na aba, realinhe a emenda e mantenha-a presa conforme as instruções do adesivo.

Neste exemplo, o comprimento calculado do arco externo é de aproximadamente 376,99 mm, que corresponde a π × 120 mm. O arco interno mede aproximadamente 188,50 mm, que corresponde a π × 60 mm. Essas conferências calculadas confirmam as dimensões do molde; elas não são medidas de um modelo pronto.

Apoie a borda maior em uma superfície plana e confira a altura perpendicular até a borda menor. No exemplo, essa altura deve ser de aproximadamente 40 mm, enquanto a distância ao longo da superfície inclinada deve ser de aproximadamente 50 mm. Meça cada abertura passando pelo centro em mais de uma direção para verificar se é circular.

O que você observa	O que conferir em seguida
As duas aberturas estão pequenas demais	Confirme o ângulo mantido e verifique se houve sobreposição excessiva na emenda.
As duas aberturas estão grandes demais	Verifique se há uma abertura na emenda ou se o ângulo mantido é grande demais.
A distância inclinada está correta, mas a altura vertical está errada	Confira novamente os diâmetros das duas aberturas e se as bordas estão paralelas.
As linhas das seções não se encontram na emenda	Confira se as bordas radiais estão alinhadas, sem deslizar no sentido do comprimento.
A estrutura tem cantos ou faces planas	Verifique se o papel foi vincado ao longo das linhas de construção.

Se R for igual a r, a forma será um cilindro e essas fórmulas resultarão em divisão por zero; use um retângulo cujo comprimento seja igual à circunferência e cuja largura seja igual à altura. Se r for igual a zero, a abertura menor desaparece e o molde passa a ser um setor de cone completo. Com uma inclinação muito suave, R − r fica pequeno e o centro do molde fica muito distante, tornando trabalhoso fazer o desenho manual com o compasso. A lição sobre linhas radiais do BCcampus aponta que um ponto central relativamente acessível é uma condição prática para esse método de construção.

Uma construção bem-sucedida começa com seções horizontais consistentes, usa as distâncias inclinadas no molde plano e fecha na emenda marcada. Guarde juntos a tabela de seções e as dimensões do molde para poder reproduzir o cone ou mudar seu tamanho sem refazer a geometria.

• Frustum of a Cone — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Radial Line Pattern Development — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Lecture 36: Development of Surfaces of Truncated Solids — Development of a Right Circular Cone, NPTEL
• Conical Frustum — Wolfram MathWorld