Cómo construir un tronco de cono recto de papel a partir de secciones horizontales
Para construir un tronco de cono recto de papel a partir de secciones horizontales, usa los diámetros de las secciones y la distancia vertical entre ellas para dibujar un patrón plano delimitado por dos arcos concéntricos. Añade una pestaña de unión, recorta el patrón y enróllalo hasta que coincidan sus dos líneas rectas de unión.
Esta guía permite crear una cubierta de papel abierta por ambos extremos, con bordes circulares paralelos y un eje vertical centrado: un tronco de cono circular recto. Las secciones horizontales proporcionan medidas y puntos de comprobación; no es necesario recortar y apilar círculos de papel por separado. El ejemplo da como resultado un cono de 40 mm de altura, con un diámetro inferior de 120 mm y uno superior de 60 mm.
1. Comprueba que las secciones horizontales describan un cono recto
Una sección horizontal es un corte paralelo al borde inferior. En un tronco de cono circular recto, el radio cambia linealmente con la altura. Por consiguiente, las secciones tomadas a intervalos de altura iguales deben mostrar cambios iguales en el diámetro. Esto se deduce de la relación entre el radio y la altura que se presenta en «Conical Frustum» de Wolfram MathWorld.
Empieza anotando la altura de cada sección respecto a la base y su diámetro. Mantén las unidades uniformes y mide la altura verticalmente a lo largo del eje, no sobre el lado inclinado.
Este es el esquema de secciones ilustrativo que se usará en toda la guía:
| Altura desde la base | Diámetro de la sección | Radio de la sección |
|---|---|---|
| 0 mm | 120 mm | 60 mm |
| 10 mm | 105 mm | 52.5 mm |
| 20 mm | 90 mm | 45 mm |
| 30 mm | 75 mm | 37.5 mm |
| 40 mm | 60 mm | 30 mm |
Cada aumento de 10 mm reduce el diámetro en 15 mm, así que estas secciones describen una conicidad recta. Si tus secciones tienen separaciones desiguales, compara cuánto cambia el diámetro por cada milímetro de altura. Esas tasas deben coincidir para que correspondan a un único cono recto.
Los centros de las secciones también deben estar sobre un mismo eje vertical. Si los centros se desplazan lateralmente o el diámetro cambia a ritmos distintos, el patrón de arcos concéntricos que se explica a continuación no reproducirá la forma indicada. Resuelve esas diferencias antes de dibujar el patrón definitivo.
2. Reúne los materiales y define las tres dimensiones principales
Para el modelo inicial, reúne papel fácil de enrollar, un lápiz, una regla, un compás, un transportador, tijeras y adhesivo para papel o cinta adhesiva de doble cara. Usa una hoja lo bastante grande para incluir todo el patrón y su pestaña de unión. Una prueba con papel de desecho te ayudará a comprobar el diseño antes de usar el papel elegido para el acabado.
Define estas dimensiones:
- R: radio de la abertura mayor, en la base.
- r: radio de la abertura menor, en la parte superior.
- h: distancia vertical entre esas aberturas.
En el ejemplo, R = 60 mm, r = 30 mm y h = 40 mm. Estas son dimensiones ideales de la superficie: el cálculo considera despreciable el grosor del papel. Si la cubierta terminada debe encajar bien alrededor de otro objeto, pruébala con el papel que usarás y ajusta el encaje antes de hacer la versión definitiva.
Dibuja una elevación lateral a tamaño real: un trapecio centrado, con un borde inferior de 120 mm, uno superior de 60 mm y 40 mm entre ambos. Prolonga hacia arriba los dos lados inclinados hasta que se junten. Esa intersección es el vértice del cono completo. Dibujar la elevación con su vértice también es el punto de partida de la lección de construcción «Frustum of a Cone» de Brian Coey.
3. Calcula los radios y el ángulo del patrón plano
La distancia a lo largo del lado inclinado es mayor que la altura vertical. Llama a esta distancia inclinada s. Para un tronco de cono circular recto, s = √[h² + (R − r)²], como se documenta en la geometría de troncos de cono de Wolfram MathWorld.
Para el ejemplo:
s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.
El patrón necesita dos radios medidos desde un centro común, O. Estas distancias se miden desde el vértice original a lo largo de la superficie del cono, no son los radios de sus aberturas circulares. Llama L al radio mayor del patrón y l al menor.
Por semejanza de triángulos, L/l = R/r. Su diferencia es la distancia inclinada del tronco de cono, por lo que L − l = s. Al resolver estas dos relaciones se obtiene:
- L = R × s ÷ (R − r)
- l = r × s ÷ (R − r)
Por tanto, en el ejemplo se necesitan L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm y l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. La diferencia de 50 mm coincide con la distancia inclinada calculada.
A continuación, calcula el ángulo del sector que se conservará, θ:
θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.
Este ángulo hace que la longitud del arco exterior del patrón sea igual a la circunferencia inferior. La lección original de NPTEL, «Development of a Right Circular Cone», presenta la misma construcción del sector basada en la circunferencia. Al quitar el sector del cono pequeño, queda el patrón del tronco de cono.
En este ejemplo, θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. Conserva la parte de 216° del anillo. La cuña que falta mide 360° − 216° = 144°. Etiqueta ambos valores en el dibujo para evitar conservar por error la cuña menor.
4. Transfiere las secciones horizontales al patrón
Las secciones intermedias te proporcionan líneas de referencia útiles. A una altura z desde la base, el radio de la sección es:
a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.
Usando la misma proporción de semejanza que en los cálculos de los bordes, la distancia correspondiente desde el centro O del patrón es:
ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).
Los siguientes valores se calculan a partir de las dimensiones ilustrativas. Indican dónde aparece cada sección horizontal en la hoja plana:
| Altura desde la base | Diámetro de la sección terminada | Radio del arco del patrón desde O |
|---|---|---|
| 0 mm | 120 mm | 100 mm |
| 10 mm | 105 mm | 87.5 mm |
| 20 mm | 90 mm | 75 mm |
| 30 mm | 75 mm | 62.5 mm |
| 40 mm | 60 mm | 50 mm |
Dibuja suavemente los arcos intermedios a 87.5, 75 y 62.5 mm de O. Una vez ensamblados, representan los niveles horizontales situados a 10, 20 y 30 mm de la base. Déjalos como guías de lápiz; si los recortas, dividirás la cubierta en bandas separadas.
Observa que un intervalo vertical de 10 mm se convierte en un intervalo de 12.5 mm en la dirección radial del patrón plano. Esta diferencia explica por qué transferir directamente la separación vertical entre secciones a la superficie inclinada produce una altura incorrecta.
5. Dibuja y recorta el patrón completo de papel
Usa el ángulo calculado para dibujar el sector con precisión, en vez de estimar su longitud con pasos repetidos del compás. En «Radial Line Pattern Development», Coey explica el requisito de la circunferencia y señala que los métodos de medición por pasos tienen limitaciones de precisión.
- Marca el centro O dejando suficiente espacio a su alrededor para un radio de 100 mm.
- Dibuja círculos o arcos concéntricos de 100 mm y 50 mm de radio.
- Traza dos líneas radiales que delimiten el sector de 216° que se conservará. Con un transportador de 180°, dibuja la cuña complementaria de 144° y márcala para recortarla.
- Añade los tres arcos de las secciones intermedias que aparecen en la tabla.
- Conserva dentro del sector elegido la zona anular comprendida entre los arcos de 50 mm y 100 mm de radio.
- Añade una pestaña de unión por fuera de uno de los límites radiales. Para este modelo de prueba, una pestaña de unos 8 mm es un valor inicial práctico; no forma parte del cálculo geométrico.
- Recorta el arco exterior, el arco interior, el borde radial opuesto y el contorno de la pestaña.
Deja visible el límite radial original donde se une la pestaña al patrón. Esta es la línea de referencia de la unión. Recorta los extremos de la pestaña ligeramente hacia dentro respecto a ambos arcos de los bordes para que no sobresalga de las aberturas terminadas.
Los dos arcos concéntricos son fundamentales: la construcción de un tronco de cono de Coey también usa las longitudes inclinadas mayor y menor desde un punto radial común. Un trapecio copiado directamente de la elevación lateral no es el desarrollo de la superficie.
6. Enrolla la cubierta y une la costura con precisión
Curva suavemente el papel a lo ancho del sector, dándole una forma gradual. Evita marcar pliegues en la superficie principal: la cubierta terminada debe curvarse alrededor de su circunferencia y conservar líneas rectas a lo largo de cada lado inclinado, desde un borde hasta el otro.
Haz coincidir el borde radial sin pestaña con la línea de referencia situada en la base de la pestaña. Coloca la pestaña debajo del borde opuesto. Sujeta la unión temporalmente y comprueba que coincidan los extremos de los arcos interior y exterior y que cada línea de sección intermedia continúe al otro lado de la unión.
No superpongas la parte principal del patrón más allá de la línea de referencia para que la unión parezca más ajustada. El sector conservado ya tiene la circunferencia necesaria; cualquier superposición adicional reduce el tamaño de las aberturas. Aplica adhesivo solo a la pestaña, vuelve a alinear la unión y sujétala según las instrucciones del adhesivo.
En este ejemplo, la longitud calculada del arco exterior es de aproximadamente 376.99 mm, que coincide con π × 120 mm. La del arco interior es de aproximadamente 188.50 mm, que coincide con π × 60 mm. Estas comprobaciones calculadas confirman las dimensiones del patrón; no son medidas de un modelo terminado.
7. Comprueba el cono terminado e identifica los errores
Apoya el borde mayor sobre una superficie plana y comprueba la altura perpendicular hasta el borde menor. En el ejemplo, esta altura debe ser de unos 40 mm, mientras que la distancia a lo largo de la superficie inclinada debe ser de unos 50 mm. Mide cada abertura pasando por su centro en más de una dirección para comprobar si es circular.
| Lo que observas | Qué comprobar a continuación |
|---|---|
| Ambas aberturas son demasiado pequeñas | Confirma el ángulo del sector conservado y comprueba que no haya un exceso de superposición en la unión. |
| Ambas aberturas son demasiado grandes | Comprueba si hay un hueco en la unión o si el ángulo del sector conservado es demasiado grande. |
| La distancia inclinada es correcta, pero la altura vertical no | Vuelve a comprobar ambos diámetros de las aberturas y que los bordes sean paralelos. |
| Las líneas de sección no coinciden en la unión | Comprueba que los bordes radiales estén alineados, sin desplazamiento longitudinal. |
| La cubierta tiene esquinas o caras planas | Comprueba si el papel se dobló siguiendo las líneas de construcción. |
Si R es igual a r, la forma es un cilindro y estas fórmulas dan una división por cero; usa un rectángulo cuya longitud sea la circunferencia y cuyo ancho sea la altura. Si r es igual a cero, la abertura menor desaparece y el patrón se convierte en un sector de cono completo. Si la conicidad es muy leve, R − r es pequeño y el centro del patrón queda muy lejos, lo que dificulta dibujarlo a mano con el compás. La lección sobre líneas radiales de BCcampus señala que disponer de un punto radial a una distancia razonable es una condición práctica para este método de construcción.
Para que el modelo quede bien, parte de secciones horizontales coherentes, usa distancias inclinadas para el patrón plano y cierra la cubierta en la unión marcada. Guarda juntos el esquema de secciones y las dimensiones del patrón para poder reproducir el cono o cambiar su tamaño sin reconstruir la geometría.