如何用水平截面製作直截頭紙圓錐

水平截面是平行於底部邊緣的切片。對於直圓錐台，其半徑會隨高度線性變化。因此，等高間距的截面，其直徑變化量也必須相等。這可由 Wolfram MathWorld 的「圓錐台」所述半徑與高度的關係推得。

首先記錄每個截面距底部的高度和直徑。單位要一致；高度應沿軸線垂直測量，而非沿斜邊測量。

以下是本指南全程使用的示例截面表：

距底部高度	截面直徑	截面半徑
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52.5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37.5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

每上升 10 mm，直徑就減少 15 mm，因此這些截面描述的是直線錐度。如果截面間距不相等，則比較每毫米高度的直徑變化量。若是同一個直圓錐，這些變化率必須一致。

各截面的中心也必須落在同一條垂直軸線上。如果中心向側邊偏移，或直徑變化率不同，以下的同心圓弧展開圖便無法重現提供的形狀。繪製最終展開圖之前，先處理這些差異。

製作初版模型時，準備容易捲曲的紙張、鉛筆、直尺、圓規、量角器、剪刀，以及紙用膠水或雙面膠帶。紙張尺寸要足以容納完整展開圖及接合片。先用廢紙試作，有助於在使用選定的成品紙材之前檢查版面。

確定以下尺寸：

• R：較大底部開口的半徑。
• r：較小頂部開口的半徑。
• h：兩個開口之間的垂直距離。

本例中，R = 60 mm、r = 30 mm、h = 40 mm。這些是理想表面尺寸：計算時將紙張厚度視為可忽略不計。如果成品紙殼必須緊密貼合另一個物件，請用實際紙張試作，並在製作最終版本前調整配合度。

以全尺寸繪製側視圖：一個置中的梯形，下邊長 120 mm、上邊長 60 mm，兩邊之間相距 40 mm。將兩條斜邊向上延伸，直到相交。交點就是缺失圓錐的頂點。繪製包含頂點的側視圖，也是 Brian Coey 「圓錐台」構圖課程的起始步驟。

斜邊長度比垂直高度長。將這段斜向距離稱為s。對於直圓錐台，s = √[h² + (R − r)²]，詳見Wolfram MathWorld 的圓錐台幾何說明。

以本例來說：

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm。

展開圖需要兩個以同一中心 O 為基準的半徑。這兩個距離是從原圓錐頂點沿圓錐表面量起的距離，而不是圓形開口的半徑。將較大的展開圖半徑稱為L，較小的稱為l。

根據相似三角形，L/l = R/r。兩者的差值就是圓錐台的斜向距離，因此 L − l = s。解這兩個關係式可得：

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

因此，本例所需的 L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm，而 l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm。兩者相差 50 mm，與計算出的斜向距離相符。

接著計算保留的扇形角度θ：

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s。

這個角度會讓展開圖的外圓弧長度等於底部圓周長。NPTEL 的原始「直圓錐展開」課程也採用相同的圓周長扇形構圖方式。移除小圓錐的扇形部分後，就會留下圓錐台展開圖。

本例中，θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°。保留圓環的 216° 部分。缺少的扇形角度為 360° − 216° = 144°。請在圖上標出這兩個角度，避免誤將較小的扇形保留下來。

中間截面可作為有用的定位線。在距底部z的高度處，截面半徑為：

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h。

使用與邊緣計算相同的相似比例，其在展開圖上對應到距中心 O 的距離為：

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r)。

以下數值由示例尺寸計算得出，標示了各水平截面在平面紙張上的位置：

距底部高度	成品截面直徑	展開圖圓弧距 O 的半徑
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87.5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62.5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

以鉛筆在距 O 87.5、75 和 62.5 mm 處輕輕畫出中間圓弧。組裝後，它們分別代表距底部 10、20 和 30 mm 的水平位置。將這些線保留為鉛筆輔助線；若剪開，紙殼就會分成獨立的環帶。

請注意，垂直方向每隔 10 mm，在平面展開圖上的徑向間距會變成 12.5 mm。這就是為什麼直接將垂直截面間距轉移到斜面上會造成高度錯誤。

使用計算出的角度繪製精確扇形，不要用反覆移動圓規估算弧長。Coey 的「放射線展開圖」說明了圓周長要求，並指出逐步移點的方法會帶來精確度限制。

1. 標出中心 O，周圍須留出足夠空間，以容納 100 mm 半徑。
2. 畫出半徑為 100 mm 和 50 mm 的同心圓或圓弧。
3. 畫出兩條徑向邊界線，框出要保留的 216° 扇形。使用 180° 量角器畫出互補的 144° 扇形，並標記為要移除的部分。
4. 依照表格畫出三條中間截面圓弧。
5. 保留 50 mm 和 100 mm 圓弧之間、位於保留扇形內的環形區域。
6. 在其中一條徑向邊界線外加上接合片。對此試作模型而言，約 8 mm 是實用的起始寬度，並非幾何計算的一部分。
7. 沿外圓弧、內圓弧、另一側徑向邊緣及接合片輪廓剪下。

接合片與展開圖連接處的原始徑向邊界線要清楚可見。這條線是接縫的對位線。將接合片兩端稍微修短，使其離兩條邊緣圓弧各留一點距離，避免接合片突出於成品開口之外。

兩條同心圓弧是必要的：Coey 的圓錐台構圖同樣以共同的半徑中心，使用大、小斜長來繪製。直接依側視圖描出梯形，並不是曲面的展開圖。

輕輕沿扇形的寬度彎曲紙張，讓它逐漸形成弧度。避免在主要表面壓出摺痕：成品紙殼應沿圓周方向彎曲，而從一側邊緣到另一側邊緣的每條斜線方向都保持筆直。

將沒有接合片的徑向邊緣對齊接合片底部的對位線。把接合片放在另一側邊緣下方。先暫時固定接縫，再檢查內外圓弧端點是否相接，以及每條中間截面線是否在接合處連續對齊。

不要為了讓接縫看起來更緊密，就讓主要展開圖超出對位線而重疊。保留的扇形已包含所需的圓周長；額外重疊會縮小開口。只在接合片上塗膠，再次對齊接縫，並依照黏著劑的說明壓合。

本例計算出的外圓弧長約為 376.99 mm，與 π × 120 mm 相符。內圓弧約為 188.50 mm，與 π × 60 mm 相符。這些計算值可用來核對展開圖尺寸，並非成品模型的實測值。

將較大的邊緣放在平坦表面上，檢查至較小邊緣的垂直高度。本例中，高度應約為 40 mm，而沿斜面的距離應約為 50 mm。從中心朝不同方向測量各開口的直徑，確認它們是否呈圓形。

觀察到的情況	接著檢查
兩個開口都太小	確認保留的角度，並檢查接縫是否重疊過多。
兩個開口都太大	檢查接縫是否有縫隙，或保留的角度是否過大。
斜向距離正確，但垂直高度不對	重新檢查兩個開口的直徑，以及兩側邊緣是否平行。
截面線在接縫處無法對齊	檢查徑向邊緣是否對齊，且沒有沿長度方向滑動。
紙殼有稜角或平面	檢查紙張是否沿構圖線壓出了摺痕。

如果 R 等於 r，形狀就是圓柱，而這些公式會因除以零而無法使用；請改用長度等於圓周長、寬度等於高度的矩形。如果 r 等於零，較小的開口便會消失，展開圖則會變成完整圓錐的扇形。錐度非常小時，R − r 會變得很小，展開圖中心也會遠離圖形，使手動使用圓規構圖變得不方便。BCcampus 的放射線課程指出，半徑中心點應在合理可及的範圍內，這是此構圖方法的實用條件。

成功製作的關鍵，是先確認水平截面一致、以斜向距離繪製平面展開圖，並在標記的接縫處閉合。將截面表與展開圖尺寸一併保存，便能重製圓錐，或在不必重新推算幾何關係的情況下調整尺寸。

• 圓錐台 — 展開圖：鈑金製作一級，Brian Coey
• 放射線展開圖 — 展開圖：鈑金製作一級，Brian Coey
• 第 36 講：截切立體的曲面展開 — 直圓錐展開，NPTEL
• 圓錐台 — Wolfram MathWorld