So konstruieren Sie einen geraden Kegelstumpf aus Papier anhand horizontaler Querschnitte

Ein horizontaler Querschnitt ist ein Schnitt parallel zum unteren Rand. Bei einem geraden Kreiskegelstumpf ändert sich der Radius linear mit der Höhe. Daher müssen sich die Durchmesser bei gleichen Höhenabständen jeweils um denselben Betrag ändern. Das folgt aus dem Verhältnis zwischen Radius und Höhe, das in Wolfram MathWorlds „Conical Frustum“ angegeben ist.

Notieren Sie zunächst die Höhe jedes Querschnitts über dem Boden und seinen Durchmesser. Verwenden Sie durchgehend dieselben Einheiten und messen Sie die Höhe vertikal entlang der Achse, nicht entlang der schrägen Seite.

Hier ist die beispielhafte Querschnittstabelle, die in dieser Anleitung verwendet wird:

Höhe über dem Boden	Querschnittsdurchmesser	Querschnittsradius
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52,5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37,5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

Mit jedem Anstieg um 10 mm verringert sich der Durchmesser um 15 mm; diese Querschnitte beschreiben also eine gerade Verjüngung. Haben Ihre Querschnitte ungleiche Abstände, vergleichen Sie stattdessen die Durchmesseränderung pro Millimeter Höhe. Diese Änderungsraten müssen für einen einzelnen geraden Kegel übereinstimmen.

Die Mittelpunkte der Querschnitte müssen außerdem auf einer einzigen vertikalen Achse liegen. Verschieben sich die Mittelpunkte seitlich oder ändert sich der Durchmesser mit unterschiedlichen Raten, bildet das einfache Schnittmuster aus konzentrischen Kreisbögen die vorgegebene Form nicht ab. Klären Sie diese Abweichungen, bevor Sie Ihr endgültiges Schnittmuster zeichnen.

Für das erste Modell benötigen Sie leicht rollbares Papier, einen Bleistift, ein Lineal, einen Zirkel, einen Winkelmesser, eine Schere und Papierkleber oder doppelseitiges Klebeband. Verwenden Sie ein Blatt, das groß genug für das gesamte Schnittmuster samt Klebelasche ist. Mit einem Probeschnitt auf Schmierpapier können Sie das Layout prüfen, bevor Sie das gewünschte Material verwenden.

Bestimmen Sie folgende Maße:

• R: Radius der größeren, unteren Öffnung.
• r: Radius der kleineren, oberen Öffnung.
• h: Vertikaler Abstand zwischen den Öffnungen.

Im Beispiel gilt: R = 60 mm, r = 30 mm und h = 40 mm. Dies sind ideale Maße der Oberfläche: Bei der Berechnung wird die Papierstärke als vernachlässigbar angenommen. Wenn die fertige Schale eng um ein anderes Objekt passen muss, testen Sie die Passform mit dem tatsächlichen Papier und passen Sie sie vor der endgültigen Ausführung an.

Zeichnen Sie eine Seitenansicht in Originalgröße: ein mittig ausgerichtetes Trapez mit einer unteren Kante von 120 mm, einer oberen Kante von 60 mm und einem Abstand von 40 mm zwischen den Kanten. Verlängern Sie die beiden schrägen Seiten nach oben, bis sie sich treffen. Dieser Schnittpunkt ist die Spitze des fehlenden Kegels. Auch in Brian Coeys „Frustum of a Cone“-Konstruktionslektion beginnt man mit einer Seitenansicht samt Spitze.

Die Strecke entlang der schrägen Seite ist länger als die vertikale Höhe. Nennen wir diese schräge Strecke s. Für einen geraden Kreiskegelstumpf gilt s = √[h² + (R − r)²], wie in Wolfram MathWorlds Geometrie des Kegelstumpfs beschrieben.

Für das Beispiel gilt:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

Das Schnittmuster benötigt zwei Radien, die von einem gemeinsamen Mittelpunkt O aus gemessen werden. Es sind Strecken entlang der Kegeloberfläche von der ursprünglichen Spitze aus – nicht die Radien der kreisförmigen Öffnungen. Nennen wir den größeren Schnittradius L und den kleineren l.

Nach dem Strahlensatz gilt L/l = R/r. Ihre Differenz entspricht der schrägen Strecke des Kegelstumpfs, also L − l = s. Durch Auflösen dieser beiden Beziehungen erhält man:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

Für das Beispiel ergibt sich daher L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm und l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. Ihre Differenz von 50 mm entspricht der berechneten schrägen Strecke.

Berechnen Sie als Nächstes den Winkel des verbleibenden Sektors, θ:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

Bei diesem Winkel entspricht die Länge des äußeren Schnittmusterbogens dem unteren Umfang. NPTEL zeigt in der ursprünglichen Lektion „Development of a Right Circular Cone“ dieselbe sektorförmige Konstruktion anhand des Umfangs. Entfernt man den Sektor des kleinen Kegels, bleibt das Schnittmuster des Kegelstumpfs.

Für dieses Beispiel gilt θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. Behalten Sie den 216°-Abschnitt des Rings. Der fehlende Keil beträgt 360° − 216° = 144°. Tragen Sie beide Werte in Ihrer Zeichnung ein, damit Sie nicht versehentlich den kleineren Keil behalten.

Ihre Zwischenquerschnitte liefern nützliche Ausrichtungslinien. In der Höhe z über dem Boden beträgt der Radius des Querschnitts:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

Mit demselben Ähnlichkeitsverhältnis wie bei den Berechnungen der Ränder ergibt sich der entsprechende Abstand vom Mittelpunkt O auf dem Schnittmuster:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

Die folgenden Werte wurden anhand der Beispieldaten berechnet. Sie geben an, wo jeder horizontale Querschnitt auf dem ebenen Papier liegt:

Höhe über dem Boden	Durchmesser des fertigen Querschnitts	Radius des Schnittmusterbogens ab O
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87,5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62,5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Zeichnen Sie die Zwischenbögen bei 87,5, 75 und 62,5 mm Abstand von O mit leichter Hand. Nach dem Zusammenbau entsprechen sie den Höhen 10, 20 und 30 mm über dem Boden. Lassen Sie diese Linien als Bleistiftmarkierungen stehen; würden Sie sie ausschneiden, wäre die Schale in einzelne Streifen geteilt.

Beachten Sie: Ein vertikaler Abstand von 10 mm wird auf der radialen Richtung des ebenen Schnittmusters zu einem Abstand von 12,5 mm. Deshalb führt es zu einer falschen Höhe, wenn Sie die vertikalen Abstände der Querschnitte direkt auf die schräge Oberfläche übertragen.

Zeichnen Sie mit dem berechneten Winkel den exakten Sektor, statt seine Länge mit wiederholten Zirkelabträgen zu schätzen. Coey erklärt in „Radial Line Pattern Development“ die Umfangsbedingung und weist darauf hin, dass Schrittverfahren die Genauigkeit einschränken.

1. Markieren Sie den Mittelpunkt O so, dass rundherum Platz für einen Radius von 100 mm bleibt.
2. Zeichnen Sie konzentrische Kreise oder Kreisbögen mit einem Radius von 100 mm und 50 mm.
3. Zeichnen Sie zwei radiale Begrenzungslinien, die den verbleibenden 216°-Sektor einschließen. Tragen Sie mit einem 180°-Winkelmesser den ergänzenden 144°-Keil ab und markieren Sie ihn zum Entfernen.
4. Fügen Sie die drei Zwischenbögen aus der Tabelle hinzu.
5. Lassen Sie den ringförmigen Bereich zwischen den Bögen mit 50 mm und 100 mm Radius innerhalb des verbleibenden Sektors stehen.
6. Fügen Sie außerhalb einer radialen Begrenzung eine Klebelasche hinzu. Für dieses Probemodell sind etwa 8 mm ein praktischer Ausgangswert; die Breite gehört nicht zur geometrischen Berechnung.
7. Schneiden Sie den äußeren und den inneren Bogen, die gegenüberliegende radiale Kante sowie die Umrisse der Lasche aus.

Lassen Sie die ursprüngliche radiale Begrenzungslinie dort sichtbar, wo die Lasche am Schnittmuster ansetzt. Diese Linie dient zur Ausrichtung der Naht. Schneiden Sie die Enden der Lasche an beiden Randbögen etwas zurück, damit sie nicht über die fertigen Öffnungen hinausragt.

Die beiden konzentrischen Kreisbögen sind entscheidend: Auch Coeys Konstruktion eines Kegelstumpfs verwendet die große und die kleine schräge Länge mit einem gemeinsamen Radiusmittelpunkt. Ein direkt von der Seitenansicht abgezeichnetes Trapez ist nicht die abgewickelte Oberfläche.

Runden Sie das Papier vorsichtig über die Breite des Sektors und führen Sie es dabei allmählich in eine gebogene Form. Vermeiden Sie Knicke in der Hauptfläche: Die fertige Schale soll sich über ihren Umfang wölben, entlang jeder schrägen Linie von Rand zu Rand aber gerade bleiben.

Legen Sie die radiale Kante ohne Lasche auf die Ausrichtungslinie am Ansatz der Lasche. Schieben Sie die Lasche unter die gegenüberliegende Kante. Fixieren Sie die Naht vorübergehend und prüfen Sie anschließend, ob die Enden der inneren und äußeren Bögen zusammentreffen und die Zwischenlinien über die Naht hinweg jeweils aufeinander ausgerichtet sind.

Schieben Sie die Hauptfläche nicht über ihre Ausrichtungslinie hinaus, damit die Naht enger wirkt. Der verbleibende Sektor enthält bereits den erforderlichen Umfang; eine zusätzliche Überlappung verkleinert die Öffnungen. Tragen Sie den Klebstoff nur auf die Lasche auf, richten Sie die Naht erneut aus und halten Sie sie gemäß der Anleitung des Klebstoffs fest.

Für dieses durchgerechnete Beispiel beträgt die berechnete Länge des äußeren Bogens etwa 376,99 mm und entspricht damit π × 120 mm. Der innere Bogen ist etwa 188,50 mm lang und entspricht π × 60 mm. Diese berechneten Kontrollwerte bestätigen die Maße des Schnittmusters; sie sind keine Messwerte eines fertigen Modells.

Stellen Sie den größeren Rand auf eine ebene Fläche und prüfen Sie den senkrechten Abstand zum kleineren Rand. Im Beispiel sollte dieser etwa 40 mm betragen; die Strecke entlang der schrägen Oberfläche sollte etwa 50 mm betragen. Messen Sie jede Öffnung durch ihren Mittelpunkt in mehr als einer Richtung, um zu prüfen, ob sie kreisförmig ist.

Beobachtung	Nächster Prüfschritt
Beide Öffnungen sind zu klein	Prüfen Sie den Winkel des verbleibenden Sektors und achten Sie auf eine zu große Nahtüberlappung.
Beide Öffnungen sind zu groß	Prüfen Sie, ob ein Spalt an der Naht oder ein zu großer verbleibender Sektor vorliegt.
Die schräge Strecke stimmt, aber die vertikale Höhe ist falsch	Prüfen Sie beide Öffnungsdurchmesser und ob die Ränder parallel sind.
Die Querschnittslinien treffen an der Naht nicht aufeinander	Prüfen Sie, ob die radialen Kanten ausgerichtet sind, ohne längs gegeneinander zu verrutschen.
Die Schale hat Ecken oder flache Seitenflächen	Prüfen Sie, ob das Papier entlang der Konstruktionslinien geknickt wurde.

Wenn R gleich r ist, handelt es sich um einen Zylinder und diese Formeln führen zu einer Division durch null. Verwenden Sie stattdessen ein Rechteck, dessen Länge dem Umfang und dessen Breite der Höhe entspricht. Wenn r gleich null ist, entfällt die kleinere Öffnung und das Schnittmuster wird zu einem vollständigen Kegelsektor. Bei einer sehr geringen Verjüngung wird R − r klein und der Mittelpunkt des Schnittmusters liegt weit entfernt; dadurch ist das manuelle Zeichnen mit dem Zirkel umständlich. Die Lektion zu radialen Linien von BCcampus nennt einen gut erreichbaren Radiusmittelpunkt als praktische Voraussetzung für diese Konstruktionsmethode.

Ein gelungenes Modell basiert auf einheitlichen horizontalen Querschnitten, verwendet schräge Strecken für das ebene Schnittmuster und schließt an der markierten Naht. Bewahren Sie die Querschnittstabelle zusammen mit den Maßen des Schnittmusters auf, damit Sie den Kegel nachbilden oder seine Größe ändern können, ohne die Geometrie erneut herleiten zu müssen.

• Frustum of a Cone — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Radial Line Pattern Development — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Lecture 36: Development of Surfaces of Truncated Solids — Development of a Right Circular Cone, NPTEL
• Conical Frustum — Wolfram MathWorld