Yatay Kesitlerden Düz Kesik Kâğıt Koni Nasıl Yapılır

Yatay kesit, alt ağıza paralel bir dilimdir. Dik dairesel kesik konide yarıçap, yükseklikle doğrusal olarak değişir. Bu nedenle, eşit yükseklik aralıklarındaki kesitlerin çapları eşit miktarda değişmelidir. Bu sonuç, Wolfram MathWorld’ün “Conical Frustum” kaynağında verilen yarıçap-yükseklik ilişkisinden çıkar.

Her kesitin alttan yüksekliğini ve çapını kaydederek başlayın. Birimleri tutarlı kullanın ve yüksekliği eğimli kenar boyunca değil, eksen boyunca dikey olarak ölçün.

Bu kılavuzda kullanılan örnek kesit çizelgesi şöyledir:

Alttan yükseklik	Kesit çapı	Kesit yarıçapı
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52,5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37,5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

Her 10 mm yükselişte çap 15 mm azalır; dolayısıyla bu kesitler düz bir konik eğim tanımlar. Kesitleriniz eşit aralıklarla yer almıyorsa, bunun yerine yükseklik milimetresi başına çap değişimini karşılaştırın. Tek bir düz koni için bu oranlar eşit olmalıdır.

Kesit merkezleri de aynı dikey eksen üzerinde bulunmalıdır. Merkezler yana kayıyorsa veya çap farklı oranlarda değişiyorsa, aşağıdaki basit eş merkezli yay şablonu verilen şekli yeniden oluşturamaz. Son şablonunuzu çizmeden önce bu farklılıkları giderin.

İlk model için kolay kıvrılan kâğıt, kurşun kalem, cetvel, pergel, açıölçer, makas ve kâğıt yapıştırıcısı ya da çift taraflı bant hazırlayın. Tam şablonun ve birleştirme kulağının sığacağı büyüklükte bir kâğıt kullanın. Seçtiğiniz son malzemeyi kullanmadan önce bir deneme kâğıdıyla yerleşimi kontrol edebilirsiniz.

Şu boyutları belirleyin:

• R: Büyük, alt açıklığın yarıçapı.
• r: Küçük, üst açıklığın yarıçapı.
• h: Bu açıklıklar arasındaki dikey mesafe.

Örnekte R = 60 mm, r = 30 mm ve h = 40 mm’dir. Bunlar ideal yüzey boyutlarıdır: hesaplama, kâğıt kalınlığını ihmal eder. Bitmiş kabuğun başka bir nesneye sıkıca oturması gerekiyorsa, gerçek kâğıtla deneyin ve son modeli yapmadan önce uyumu ayarlayın.

Tam ölçekli bir yan görünüş çizin: alt kenarı 120 mm, üst kenarı 60 mm ve aralarındaki mesafe 40 mm olan, ortalanmış bir yamuk. İki eğimli kenarı kesişene kadar yukarı uzatın. Bu kesişim, eksik koninin tepe noktasıdır. Tepe noktasını da gösteren yan görünüşü çizmek, Brian Coey’in “Frustum of a Cone” yapım dersinde de başlangıç noktasıdır.

Eğimli kenar boyunca olan mesafe, dikey yükseklikten daha uzundur. Bu eğimli mesafeye s diyelim. Dik dairesel kesik koni için s = √[h² + (R − r)²] bağıntısı geçerlidir; bu bağıntı Wolfram MathWorld’ün kesik koni geometrisi kaynağında açıklanmıştır.

Örnek için:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

Şablon için ortak merkez O’dan ölçülen iki yarıçap gerekir. Bunlar dairesel açıklıkların yarıçapları değil, ilk tepe noktasından koninin yüzeyi boyunca olan mesafelerdir. Büyük şablon yarıçapına L, küçük olana l diyelim.

Benzer üçgenlerden L/l = R/r olur. Aralarındaki fark, kesik koninin eğimli mesafesidir; dolayısıyla L − l = s. Bu iki bağıntı çözüldüğünde şu sonuçlar elde edilir:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

Buna göre örnek için L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm ve l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm gerekir. Aralarındaki 50 mm fark, hesaplanan eğimli mesafeyle aynıdır.

Ardından şablonda kalacak dilim açısı θ’yı hesaplayın:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

Bu açı, dış şablon yayının uzunluğunu alt çevreye eşitler. NPTEL’in “Development of a Right Circular Cone” başlıklı özgün dersi de aynı çevre temelli dilim yapımını anlatır. Küçük koninin dilimini çıkarmak, kesik koni şablonunu oluşturur.

Bu örnekte θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216° olur. Halkadaki 216°’lik kısmı bırakın. Eksik dilim 360° − 216° = 144°’dir. Küçük dilimi yanlışlıkla bırakmamak için çiziminizde iki değeri de işaretleyin.

Ara kesitler, hizalama çizgileri olarak işinize yarar. Alttan z yüksekliğindeki kesitin yarıçapı şöyledir:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

Ağız hesaplamalarında kullanılan benzerlik oranıyla, bu kesitin şablon merkezi O’dan olan karşılık gelen mesafesi şöyledir:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

Aşağıdaki değerler örnek boyutlardan hesaplanmıştır. Her yatay kesitin düz kâğıtta nerede yer alacağını gösterirler:

Alttan yükseklik	Bitmiş kesit çapı	O’dan şablon yayına olan yarıçap
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87,5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62,5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Ara yayları O’dan 87,5, 75 ve 62,5 mm uzaklıkta hafifçe çizin. Montajdan sonra bunlar, alttan 10, 20 ve 30 mm yükseklikteki seviyeleri gösterir. Bunları kurşun kalemle çizilmiş kılavuzlar olarak bırakın; keserseniz kabuğu ayrı şeritlere ayırmış olursunuz.

Dikey yöndeki 10 mm’lik aralığın, düz şablonun yarıçap doğrultusunda 12,5 mm’lik aralığa dönüştüğüne dikkat edin. Dikey kesit aralıklarını eğimli yüzeye doğrudan aktarmanın yanlış yükseklik vermesinin nedeni bu farktır.

Açıyı art arda pergel adımlarıyla yaklaşık ölçmek yerine, hesaplanan değeri kullanarak dilimi tam olarak çizin. Coey’in “Radial Line Pattern Development” kaynağı, çevre gerekliliğini açıklar ve adım adım işaretleme yöntemlerinin doğruluk sınırlamaları olduğunu belirtir.

1. 100 mm yarıçap için çevresinde yeterli alan kalacak şekilde O merkezini işaretleyin.
2. Yarıçapları 100 mm ve 50 mm olan eş merkezli çemberler veya yaylar çizin.
3. Şablonda kalacak 216°’lik dilimin sınırlarını belirleyen iki yarıçap çizgisi çizin. 180°’lik açıölçer kullanarak tamamlayıcı 144°’lik dilimi belirleyin ve kesilmek üzere etiketleyin.
4. Çizelgedeki üç ara yayı ekleyin.
5. Şablonda kalacak dilimin içindeki 50 mm ve 100 mm yarıçaplı yaylar arasındaki halka biçimli alanı bırakın.
6. Bir yarıçap sınırının dışına birleştirme kulağı ekleyin. Bu deneme modeli için yaklaşık 8 mm’lik kulak, hesaplamaya dahil olmayan, işe yarar bir başlangıç ölçüsüdür.
7. Dış yayı, iç yayı, karşı yarıçap kenarını ve kulak dış çizgisini kesin.

Kulağın şablona birleştiği yerde ilk yarıçap sınırını görünür bırakın. Bu, dikiş hizalama çizgisidir. Kulağın bitmiş ağızlardan dışarı taşmaması için uçlarını her iki ağız yayından biraz geride kesin.

İki eş merkezli yay çok önemlidir: Coey’in kesik koni yapımı da aynı yarıçap noktasından büyük ve küçük eğimli uzunlukları kullanır. Yan görünüşten doğrudan kopyalanan bir yamuk, yüzeyin açınımı değildir.

Kâğıdı dilimin eni boyunca nazikçe kıvırarak yavaşça kavislenmesini sağlayın. Ana yüzeyde kırışıklık oluşturmaktan kaçının: bitmiş kabuk çevresi boyunca kıvrılmalı, her eğimli çizgi boyunca ağızdan ağza düz kalmalıdır.

Kulak bulunmayan yarıçap kenarını, kulağın tabanındaki hizalama çizgisine getirin. Kulağı karşı kenarın altına yerleştirin. Dikişi geçici olarak sabitleyin; ardından iç ve dış yay uçlarının birleştiğini ve her ara kesit çizgisinin birleşim yerinden kesintisiz geçtiğini kontrol edin.

Dikişi daha sıkı göstermek için ana şablonu hizalama çizgisinin ötesinde üst üste bindirmeyin. Şablonda kalan dilim gerekli çevreyi zaten içerir; ek bindirme açıklıkların boyutunu küçültür. Yapıştırıcıyı yalnızca kulağa sürün, dikişi yeniden hizalayın ve yapıştırıcının talimatlarına göre bastırıp tutun.

Bu örnekte hesaplanan dış yay uzunluğu yaklaşık 376,99 mm’dir ve π × 120 mm’ye karşılık gelir. İç yay yaklaşık 188,50 mm’dir ve π × 60 mm’ye karşılık gelir. Bu hesaplamalar şablon boyutlarını doğrular; bitmiş bir modelin ölçümleri değildir.

Büyük ağzı düz bir yüzeye yerleştirin ve küçük ağza kadar olan dik yüksekliği kontrol edin. Örnekte bu yükseklik yaklaşık 40 mm, eğimli yüzey boyunca olan mesafe ise yaklaşık 50 mm olmalıdır. Daire biçiminde olup olmadıklarını görmek için her iki açıklığı da merkezlerinden geçen birden fazla yönde ölçün.

Gözlem	Sonraki kontrol
Her iki açıklık da çok küçük	Şablonda kalan açıyı doğrulayın ve dikişte fazla bindirme olup olmadığını kontrol edin.
Her iki açıklık da çok büyük	Dikişte boşluk veya şablonda bırakılan açının fazla olup olmadığını kontrol edin.
Eğimli mesafe doğru, ancak dikey yükseklik yanlış	Her iki açıklık çapını ve ağızların paralel olup olmadığını yeniden kontrol edin.
Kesit çizgileri dikişte birleşmiyor	Yarıçap kenarlarının uzunlamasına kaymadan hizalanıp hizalanmadığını kontrol edin.
Kabuk köşeli veya düz panelli	Kâğıdın yapım çizgileri boyunca kırılıp kırılmadığını kontrol edin.

R, r’ye eşitse şekil silindirdir ve bu formüllerde sıfıra bölme oluşur; çevre uzunluğu taban ve genişliği yükseklik olan bir dikdörtgen kullanın. r sıfırsa küçük açıklık yok olur ve şablon tam koni dilimine dönüşür. Eğim çok az olduğunda R − r küçülür ve şablonun merkezi çok uzağa düşer; bu da pergelle elle çizimi zahmetli hale getirir. BCcampus’un radyal çizgi dersi, bu yapım yöntemi için merkez noktasının makul ölçüde erişilebilir olmasının pratik bir koşul olduğunu belirtir.

Başarılı bir yapım, tutarlı yatay kesitlerle başlar; düz şablonda eğimli mesafeleri kullanır ve işaretli dikişte kapanır. Koniyi yeniden üretebilmek veya geometriyi baştan kurmadan boyutunu değiştirebilmek için kesit çizelgesini ve şablon boyutlarını birlikte saklayın.

• Frustum of a Cone — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Radial Line Pattern Development — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Lecture 36: Development of Surfaces of Truncated Solids — Development of a Right Circular Cone, NPTEL
• Conical Frustum — Wolfram MathWorld