水平断面からまっすぐな円錐台の紙模型を作る方法

水平断面とは、底縁に平行な位置で切った断面です。直円錐台では、高さに応じて半径が直線的に変化します。そのため、高さが等間隔の断面では、直径の変化量も等しくなります。これは、Wolfram MathWorld の「円錐台」に示された半径と高さの関係から分かります。

まず、各断面の底面からの高さと直径を記録します。単位を統一し、高さは斜面に沿ってではなく、軸に沿って垂直に測ります。

このガイドで一貫して使う、説明用の断面寸法は次のとおりです。

底面からの高さ	断面の直径	断面の半径
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52.5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37.5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

10 mm上がるごとに直径が15 mm小さくなるため、これらの断面はまっすぐな傾斜を表しています。断面の間隔が不均等な場合は、高さ1 mmあたりの直径の変化量を比較します。1つのまっすぐな円錐であれば、その変化率はすべて一致します。

断面の中心も、1本の垂直軸上に並んでいる必要があります。中心が横にずれていたり、直径の変化率が一定でなかったりすると、以下の同心円弧の展開図では元の形状を再現できません。最終的な展開図を描く前に、ずれや不一致を解消してください。

試作品を作るには、丸めやすい紙、鉛筆、定規、コンパス、分度器、はさみ、紙用の接着剤または両面テープを用意します。展開図全体と接合用のタブが収まる大きさの紙を使います。端材で試作すると、仕上げ用の紙を使う前に配置を確認できます。

次の寸法を決めます。

• R: 大きい方の底面開口部の半径。
• r: 小さい方の上面開口部の半径。
• h: 2つの開口部間の垂直距離。

作例では、R = 60 mm、r = 30 mm、h = 40 mmです。これらは理想的な表面寸法であり、計算では紙の厚みを無視しています。完成した筒を別の物体にぴったり合わせる必要がある場合は、実際に使う紙で試し、最終版を作る前に寸法を調整してください。

縮尺どおりの側面図を描きます。下辺が120 mm、上辺が60 mmで、その間隔が40 mmの、中心のそろった台形です。左右の斜辺を延長して交わらせます。その交点が、元の円錐の頂点です。頂点を含む側面図を描く方法は、Brian Coey の「円錐台」作図レッスンでも、最初の手順として紹介されています。

斜面に沿った距離は、垂直方向の高さより長くなります。この斜面に沿った距離を s とします。直円錐台では、s = √[h² + (R − r)²] です。計算方法はWolfram MathWorld の円錐台の幾何学に記載されています。

作例では、次のようになります。

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

展開図には、共通の中心Oから測った2つの半径が必要です。これは円錐の表面に沿って、元の頂点から測った距離であり、円形の開口部の半径ではありません。大きい方の展開図半径を L、小さい方を l とします。

相似三角形より、L/l = R/r です。その差は円錐台の斜面距離なので、L − l = s となります。この2つの関係を解くと、次の式が得られます。

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

したがって作例では、L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm、l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm です。2つの差である50 mmは、計算した斜面距離と一致します。

次に、展開図に残す扇形の中心角 θ を計算します。

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

この角度にすると、展開図の外側の円弧の長さが底面の円周と一致します。NPTEL の「直円錐の展開」レッスンでも、円周に基づく同じ扇形の作図方法が紹介されています。小さい円錐の扇形を取り除くと、円錐台の展開図になります。

この作例では、θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216° です。輪状の部分のうち、216°の範囲を残します。切り取るくさび形の部分は、360° − 216° = 144° です。小さい方のくさびを誤って残さないよう、図に両方の角度を記入してください。

中間の断面は、位置合わせに便利な基準線になります。底面から高さ z の位置にある断面の半径は、次のとおりです。

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

開口部の計算と同じ相似比を使うと、展開図の中心Oからその断面までの距離は、次のようになります。

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

以下の値は、説明用の寸法から算出したものです。各水平断面が平らな紙のどこに当たるかを示します。

底面からの高さ	完成後の断面直径	Oからの展開図上の円弧半径
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87.5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62.5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Oから87.5 mm、75 mm、62.5 mmの位置に、中間の円弧を薄く描きます。組み立てると、これらは底面からそれぞれ10 mm、20 mm、30 mmの高さを表します。円弧は鉛筆のガイド線として残してください。切り取ると、筒が別々の帯に分かれてしまいます。

垂直方向に10 mm間隔の断面は、展開図では半径方向に12.5 mm間隔で並ぶことに注意してください。この違いがあるため、水平断面の間隔をそのまま斜面に沿って写すと、高さが正しくなりません。

コンパスを何度も移動させて弧の長さを見積もるのではなく、計算した角度を使って正確な扇形を描きます。Coey の「放射線による展開図の作成」では、円周の条件が説明され、コンパスを移動させて長さを測る方法では精度に限界が生じることが述べられています。

1. 半径100 mmの円弧を描くための余白を確保して、中心Oを記します。
2. 半径100 mmと50 mmの同心円または円弧を描きます。
3. 残す216°の扇形を囲む2本の放射状の境界線を引きます。180°の分度器を使い、残りの144°のくさび形部分を記して、切り取る範囲として明示します。
4. 表にある3本の中間断面の円弧を加えます。
5. 残す扇形の内側で、半径50 mmと100 mmの円弧に挟まれた輪状の部分を残します。
6. 片方の放射状の境界線の外側に接合用のタブを付けます。この試作品では、約8 mmのタブが実用的な目安です。幾何学的な計算で求めた寸法ではありません。
7. 外側の円弧、内側の円弧、反対側の放射状の縁、タブの輪郭に沿って切り抜きます。

タブが展開図につながる位置では、元の放射状の境界線が見えるようにしておきます。これが継ぎ目の位置合わせ線になります。タブの端は両方の縁の円弧より少し内側で終わるように切り、完成した開口部からはみ出さないようにします。

2つの同心円弧は不可欠です。Coey の円錐台の作図でも、共通の中心から測った大きい方と小さい方の斜辺の長さを使っています。側面図の台形をそのまま写しても、展開面にはなりません。

扇形の幅を横切るように紙をゆっくり丸め、なだらかな曲線を付けます。表面に折り目が付かないようにします。完成した筒は円周方向には丸みを帯びますが、縁から縁までの斜めの線に沿ってまっすぐである必要があります。

タブのない放射状の縁を、タブの根元にある位置合わせ線に合わせます。反対側の縁の下にタブを差し込みます。いったん継ぎ目を仮止めし、内側と外側の円弧の端が合うことと、中間断面の線が継ぎ目をまたいでつながることを確認します。

継ぎ目をきつく見せるために、位置合わせ線を越えて展開図の本体を重ねないでください。残した扇形には必要な円周がすでに含まれており、余分に重ねると開口部が小さくなります。接着剤はタブだけに付け、再び継ぎ目を合わせて、接着剤の説明に従って固定します。

この作例では、計算上の外側の円弧の長さは約376.99 mmで、π × 120 mmと一致します。内側の円弧は約188.50 mmで、π × 60 mmと一致します。これらは展開図の寸法を確認するための計算値であり、完成した模型を測った値ではありません。

大きい方の縁を平らな面に置き、小さい方の縁までの垂直な高さを確認します。作例では約40 mmになるはずです。斜面に沿った距離は約50 mmです。各開口部について、中心を通る複数の方向から直径を測り、円形になっているか確認します。

見られる状態	次に確認すること
2つの開口部がどちらも小さすぎる	残した扇形の角度と、継ぎ目で余分に重なっていないかを確認します。
2つの開口部がどちらも大きすぎる	継ぎ目に隙間がないか、残した扇形の角度が大きすぎないかを確認します。
斜面距離は正しいが垂直方向の高さが違う	両方の開口部の直径と、縁同士が平行かどうかを再確認します。
継ぎ目で断面の線がつながらない	放射状の縁が、縦方向にずれずに合っているかを確認します。
筒に角や平らな面ができる	作図線に沿って紙を折り曲げていないか確認します。

R と r が等しい場合は円柱となり、これらの式ではゼロ除算が起きます。その場合は、長さを円周、幅を高さとする長方形を使います。r がゼロの場合は小さい方の開口部がなくなり、展開図は円錐全体の扇形になります。傾斜がごくわずかな場合は R − r が小さくなり、展開図の中心が非常に遠くなるため、コンパスで描くのが難しくなります。BCcampus の放射線による展開のレッスンでは、この作図法を使う際の実用的な条件として、中心位置に無理がないことが挙げられています。

水平断面の寸法をそろえ、展開図には斜面距離を使い、印を付けた継ぎ目を閉じることが、うまく作るための基本です。断面寸法表と展開図の寸法を一緒に保管しておけば、形状を一から計算し直さずに、同じ円錐台を再現したり寸法を変えたりできます。

• 円錐台の展開 — Pattern Development: Sheet Metal Level 1、Brian Coey
• 放射線による展開図の作成 — Pattern Development: Sheet Metal Level 1、Brian Coey
• 講義36：切頭立体の表面展開 — 直円錐の展開、NPTEL
• 円錐台 — Wolfram MathWorld