수평 단면으로 곧은 원뿔대 종이 모형 만들기

수평 단면은 밑면 테두리와 평행하게 자른 단면입니다. 직각 원형 원뿔대에서는 높이에 따라 반지름이 선형으로 변합니다. 따라서 높이 간격이 같은 단면의 지름 변화량도 같아야 합니다. 이는 Wolfram MathWorld의 “원뿔대”에 제시된 반지름과 높이의 관계에서 알 수 있습니다.

먼저 각 단면의 밑면으로부터의 높이와 지름을 기록합니다. 단위는 일관되게 사용하고, 높이는 경사면을 따라 재지 말고 축을 따라 수직으로 측정합니다.

이 안내서 전체에서 사용하는 예시 단면 치수는 다음과 같습니다.

밑면으로부터의 높이	단면 지름	단면 반지름
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52.5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37.5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

10 mm 높아질 때마다 지름이 15 mm씩 줄어드므로, 이 단면들은 곧은 테이퍼를 나타냅니다. 단면 간격이 일정하지 않다면 높이 1 mm당 지름 변화량을 비교합니다. 하나의 곧은 원뿔대라면 그 변화율이 모두 같아야 합니다.

단면의 중심도 하나의 수직축 위에 놓여야 합니다. 중심이 옆으로 이동하거나 지름 변화율이 달라지면, 아래의 단순한 동심호 전개도로는 주어진 모양을 재현할 수 없습니다. 최종 전개도를 그리기 전에 이러한 차이를 해결하세요.

초기 모형을 만들려면 잘 말리는 종이, 연필, 자, 컴퍼스, 각도기, 가위, 종이용 접착제 또는 양면테이프를 준비합니다. 전개도 전체와 이음 탭이 들어갈 만큼 큰 종이를 사용하세요. 선택한 마감재를 사용하기 전에 자투리 종이로 시험해 보면 배치를 확인하는 데 도움이 됩니다.

다음 치수를 정합니다.

• R: 더 큰 밑면 개구부의 반지름.
• r: 더 작은 윗면 개구부의 반지름.
• h: 두 개구부 사이의 수직 거리.

예시에서는 R = 60 mm, r = 30 mm, h = 40 mm입니다. 이는 이상적인 표면 치수이며, 계산에서는 종이 두께를 무시합니다. 완성된 껍질을 다른 물체에 꼭 맞게 씌워야 한다면 실제 종이로 시험해 보고 최종본을 만들기 전에 맞춤 상태를 조정하세요.

실물 크기의 측면도를 그립니다. 아래쪽 변이 120 mm, 위쪽 변이 60 mm이고 두 변 사이가 40 mm인 중심 대칭 사다리꼴입니다. 두 경사 변을 위쪽으로 연장해 만나게 합니다. 그 교점이 잘려 나간 원뿔의 꼭짓점입니다. 꼭짓점을 포함한 측면도를 그리는 방법은 Brian Coey의 “원뿔대” 작도 수업에서도 시작 단계로 소개됩니다.

경사면을 따라 잰 거리는 수직 높이보다 깁니다. 이 경사 거리를 s라고 하겠습니다. 직각 원형 원뿔대의 경우 s = √[h² + (R − r)²]이며, Wolfram MathWorld의 원뿔대 기하 설명에도 나와 있습니다.

예시에서는 다음과 같습니다.

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

전개도에는 공통 중심 O에서 잰 두 반지름이 필요합니다. 이는 원래 원뿔의 꼭짓점에서 표면을 따라 잰 거리이지, 원형 개구부의 반지름이 아닙니다. 더 큰 전개도 반지름을 L, 더 작은 것을 l이라고 하겠습니다.

닮은 삼각형에 따라 L/l = R/r입니다. 두 반지름의 차이는 원뿔대의 경사 거리이므로 L − l = s입니다. 이 두 관계를 풀면 다음과 같습니다.

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

따라서 예시에서 L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm, l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm입니다. 두 값의 차이인 50 mm는 계산한 경사 거리와 일치합니다.

다음으로 남길 부채꼴의 중심각 θ를 계산합니다.

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

이 각도에 따라 바깥쪽 전개도 호의 길이는 밑면의 둘레와 같아집니다. NPTEL의 원본 “직각 원형 원뿔의 전개” 수업에도 같은 원주 기반 부채꼴 작도법이 나와 있습니다. 작은 원뿔의 부채꼴을 빼면 원뿔대 전개도가 남습니다.

이 예시에서는 θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°입니다. 고리 모양 부분 중 216°를 남깁니다. 빠지는 부채꼴은 360° − 216° = 144°입니다. 작은 부채꼴을 실수로 남기지 않도록 도면에 두 각도를 모두 표시하세요.

중간 단면은 위치를 맞추는 데 유용한 기준선을 제공합니다. 밑면에서 높이 z인 단면의 반지름은 다음과 같습니다.

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

테두리 계산과 같은 닮음비를 적용하면, 해당 단면이 전개도 중심 O에서 떨어진 거리는 다음과 같습니다.

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

다음 값은 예시 치수로 계산한 것으로, 평면 종이에서 각 수평 단면이 나타나는 위치를 지정합니다.

밑면으로부터의 높이	완성된 단면 지름	O에서 잰 전개도 호 반지름
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87.5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62.5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

O에서 87.5, 75, 62.5 mm 떨어진 곳에 중간 호를 연하게 그립니다. 조립 후 이 호들은 밑면에서 각각 10, 20, 30 mm 높이에 해당합니다. 연필 안내선으로 남겨 두세요. 잘라 내면 껍질이 별도의 띠들로 나뉩니다.

수직 간격 10 mm는 평면 전개도에서 반지름 방향으로 12.5 mm 간격이 됩니다. 수직 단면 간격을 경사면에 그대로 옮기면 높이가 틀리는 이유가 여기에 있습니다.

컴퍼스로 길이를 여러 번 옮겨 각도를 어림하지 말고, 계산한 각도로 정확한 부채꼴을 그립니다. Coey의 “방사선 전개도 작도”에서는 원주 길이 조건을 설명하고, 길이를 옮겨 표시하는 방식은 정확도에 한계가 있다고 언급합니다.

1. 반지름 100 mm를 그릴 공간을 충분히 두고 중심 O를 표시합니다.
2. 반지름 100 mm와 50 mm인 동심원 또는 동심호를 그립니다.
3. 남길 216° 부채꼴의 양쪽 경계가 되도록 두 방사선을 긋습니다. 180° 각도기를 사용해 나머지 144° 부채꼴을 표시하고 제거할 부분이라고 적습니다.
4. 표에 있는 중간 단면 호 세 개를 추가합니다.
5. 남길 부채꼴 안에서 50 mm 호와 100 mm 호 사이의 고리 모양 영역을 보존합니다.
6. 한쪽 방사선 경계 바깥에 이음 탭을 추가합니다. 이 시험 모형에서는 약 8 mm 탭을 시작 치수로 사용할 수 있지만, 이는 기하 계산에 포함되지 않습니다.
7. 바깥쪽 호, 안쪽 호, 반대쪽 방사형 가장자리와 탭 윤곽을 따라 자릅니다.

탭이 전개도에 붙는 곳에서 원래 방사형 경계선이 보이도록 남겨 둡니다. 이 선이 이음 위치를 맞추는 기준선입니다. 탭 끝은 양쪽 테두리 호에서 약간 안쪽으로 잘라 탭이 완성된 개구부 밖으로 튀어나오지 않게 합니다.

두 동심호는 필수입니다. Coey의 원뿔대 작도법에서도 공통 반지름 중심점에서 큰 경사 길이와 작은 경사 길이를 사용합니다. 측면도에서 사다리꼴을 그대로 베끼는 것은 전개된 표면이 아닙니다.

부채꼴의 너비 방향으로 종이를 부드럽게 말아 곡선이 완만하게 생기도록 합니다. 주 표면에 접히는 자국을 내지 마세요. 완성된 껍질은 원주 방향으로 휘어야 하며, 각 경사선을 따라 테두리에서 테두리까지는 곧게 이어져야 합니다.

탭이 없는 방사형 가장자리를 탭 바닥의 기준선에 맞춥니다. 탭을 반대쪽 가장자리 아래에 둡니다. 이음부를 임시로 고정한 다음, 안쪽과 바깥쪽 호의 끝점이 만나고 각 중간 단면선이 이음부를 가로질러 이어지는지 확인합니다.

이음부를 더 좁아 보이게 하려고 기준선보다 안쪽으로 전개도의 주 표면을 겹치지 마세요. 남긴 부채꼴에 필요한 둘레가 이미 포함되어 있으므로, 더 겹치면 개구부 크기가 작아집니다. 접착제는 탭에만 바르고 이음부를 다시 맞춘 다음 접착제 사용법에 따라 눌러 고정합니다.

이 예시에서 계산된 바깥쪽 호 길이는 약 376.99 mm로, π × 120 mm와 일치합니다. 안쪽 호 길이는 약 188.50 mm로, π × 60 mm와 일치합니다. 이 계산값은 전개도 치수를 확인해 주며, 완성된 모형을 실제로 측정한 값은 아닙니다.

더 큰 테두리를 평평한 면에 놓고 더 작은 테두리까지의 수직 높이를 확인합니다. 예시에서는 높이가 약 40 mm, 경사면을 따라 잰 거리가 약 50 mm여야 합니다. 각 개구부의 중심을 지나도록 여러 방향에서 지름을 재어 원형인지 확인합니다.

관찰한 상태	다음으로 확인할 항목
두 개구부가 모두 너무 작음	남긴 각도가 맞는지 확인하고 이음부가 지나치게 겹쳤는지 살펴봅니다.
두 개구부가 모두 너무 큼	이음부에 틈이 있는지 또는 남긴 각도가 너무 큰지 확인합니다.
경사 거리는 맞지만 수직 높이가 틀림	두 개구부 지름과 테두리의 평행 여부를 다시 확인합니다.
단면선이 이음부에서 이어지지 않음	방사형 가장자리가 길이 방향으로 미끄러지지 않고 맞닿았는지 확인합니다.
껍질에 모서리나 평평한 면이 생김	종이를 작도선을 따라 접었는지 확인합니다.

R이 r과 같으면 원기둥이 되어 이 공식은 0으로 나누게 됩니다. 이 경우 가로가 원주 길이이고 세로가 높이인 직사각형을 사용하세요. r이 0이면 작은 개구부가 사라져 전개도는 완전한 원뿔 부채꼴이 됩니다. 테이퍼가 매우 완만하면 R − r이 작아져 전개도 중심이 멀리 놓이므로 컴퍼스로 직접 그리기 어렵습니다. BCcampus의 방사선 전개도 수업에서는 이 작도법을 사용할 때 중심점까지의 거리가 적당히 가까워야 한다고 설명합니다.

성공적인 제작은 일관된 수평 단면에서 시작하며, 평면 전개도에는 경사 거리를 사용하고 표시한 이음선에서 닫습니다. 단면 치수표와 전개도 치수를 함께 보관하면 기하를 다시 계산하지 않고도 원뿔대를 재현하거나 크기를 바꿀 수 있습니다.

• 원뿔대 — 전개도 작도: 판금 기초 1, Brian Coey
• 방사선 전개도 작도 — 전개도 작도: 판금 기초 1, Brian Coey
• 강의 36: 절단 입체의 표면 전개 — 직각 원형 원뿔의 전개, NPTEL
• 원뿔대 — Wolfram MathWorld