如何用水平截面制作直圆台纸模

水平截面是一个平行于底边缘的切片。对于直圆锥台，其半径随高度线性变化。因此，等高间距处各截面的直径变化量必须相等。这与 Wolfram MathWorld 的“圆锥台”中给出的半径与高度关系一致。

先记录每个截面高于底部的高度及其直径。单位要保持一致；高度应沿垂直轴测量，而不是沿斜边测量。

以下是本指南全程采用的示例截面数据：

高于底部的高度	截面直径	截面半径
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52.5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37.5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

每升高 10 mm，直径就减少 15 mm，因此这些截面描述的是一条直线形锥度。如果各截面的间距不相等，则比较每毫米高度对应的直径变化量。对于同一个直圆锥，这些变化率必须相同。

各截面的中心也必须位于同一条垂直轴上。如果中心横向偏移，或直径变化率不一致，下面的同心圆弧展开图就无法复现给定形状。绘制最终展开图前，先解决这些差异。

制作初版模型时，准备容易卷曲的纸、铅笔、直尺、圆规、量角器、剪刀，以及纸用胶水或双面胶。纸张要足够大，能容纳完整展开图和接合片。先用废纸试做，有助于在使用选定的成品材料前检查布局。

确定以下尺寸：

• R： 较大底部开口的半径。
• r： 较小顶部开口的半径。
• h： 两个开口之间的垂直距离。

本例中，R = 60 mm，r = 30 mm，h = 40 mm。这些是理想表面尺寸：计算时忽略纸张厚度。如果成品纸壳必须紧密套在另一个物体上，请用实际纸张进行试装，并在制作最终版本前调整尺寸。

按实际尺寸绘制侧视图：一个居中的梯形，下边长 120 mm，上边长 60 mm，两边之间相距 40 mm。将两条斜边向上延长，直到相交。交点就是完整圆锥的顶点。绘制带顶点的侧视图，也是 Brian Coey “圆锥台”构造教程中的起始步骤。

斜边上的距离大于垂直高度。将这个斜向距离记为s。对于直圆锥台，s = √[h² + (R − r)²]，参见Wolfram MathWorld 的圆锥台几何说明。

代入本例：

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm。

展开图需要两个以同一点 O 为圆心的半径。这些半径是从原圆锥顶点沿圆锥表面量取的距离，并非圆形开口的半径。将较大的展开图半径记为L，较小的记为l。

根据相似三角形，L/l = R/r。两者之差就是圆锥台的斜向距离，因此 L − l = s。联立这两个关系可得：

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

因此，本例需要 L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm，以及 l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm。两者相差 50 mm，与计算得到的斜向距离相符。

接下来计算保留扇形的圆心角θ：

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s。

这个角度会使展开图的外圆弧长度等于底部圆周长。NPTEL 的原始“直圆锥展开”课程给出了相同的基于周长的扇形构造方法。去掉小圆锥对应的扇形，就得到圆锥台展开图。

本例中，θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°。保留圆环的 216° 部分。缺失的扇形角度为 360° − 216° = 144°。在图上标注这两个角度，以免误把较小的扇形留下。

中间截面可作为有用的对位线。在底部上方高度为z处，截面半径为：

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h。

使用与开口边缘计算相同的相似比例，其在展开图上对应的距中心 O 的距离为：

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r)。

以下数值根据示例尺寸计算得出，表示各水平截面在平面纸张上的位置：

高于底部的高度	成品截面直径	展开图上距 O 的圆弧半径
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87.5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62.5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

以 O 为圆心，在 87.5、75 和 62.5 mm 处轻轻画出中间圆弧。组装后，它们分别代表底部上方 10、20 和 30 mm 的水平位置。将这些线留作铅笔辅助线；如果剪开，就会把纸壳分成多个独立圆环。

注意，垂直方向每隔 10 mm，在平面展开图的径向上就对应 12.5 mm。正因为存在这种差异，直接把垂直截面间距转移到斜面上会导致成品高度错误。

用计算出的角度绘制精确扇形，不要用反复移动圆规估算弧长。Coey 的“放射线展开图”说明了周长要求，并指出逐步量取的方法会带来精度限制。

1. 标出圆心 O，并在周围留出足够空间，以绘制半径为 100 mm 的圆弧。
2. 画出半径为 100 mm 和 50 mm 的同心圆或圆弧。
3. 画出两条径向边界线，围出保留的 216° 扇形。使用 180° 量角器标出互补的 144° 扇形，并标明要剪除。
4. 根据表格画出三个中间截面圆弧。
5. 保留扇形内半径 50 mm 与 100 mm 圆弧之间的圆环区域。
6. 在一条径向边界外加上接合片。对于这个试制模型，约 8 mm 是实用的起始宽度，并非几何计算的一部分。
7. 剪下外圆弧、内圆弧、另一条径向边缘和接合片轮廓。

接合片与展开图相连的位置要保留原径向边界线，以便作为接缝对位线。将接合片两端略微修短，避免其突出成品开口边缘。

两条同心圆弧必不可少：Coey 的圆锥台构造方法同样使用以同一个圆心点为基准的大、小斜长。直接照侧视图剪出一个梯形，并不是曲面的展开图。

轻轻卷曲纸张，使其沿扇形宽度方向逐渐弯曲。避免在主要表面压出折痕：成品纸壳的圆周方向应呈曲面，而从一个开口边缘到另一个开口边缘的每条斜线都应保持笔直。

将没有接合片的径向边缘对准接合片根部的对位线。把接合片放在另一侧边缘下方。先临时固定接缝，再检查内外圆弧的端点是否相接，以及每条中间截面线是否跨过接缝连续对齐。

不要为了让接缝看起来更紧密，就让展开图主体越过对位线重叠。保留的扇形已经包含所需周长；额外重叠会缩小开口。只在接合片上涂胶，再次对齐接缝，并按胶粘剂说明固定。

在本例中，计算得出的外圆弧长度约为 376.99 mm，与 π × 120 mm 相符。内圆弧长度约为 188.50 mm，与 π × 60 mm 相符。这些计算值用于校验展开图尺寸，并非成品模型的实测值。

将较大的边缘放在平面上，测量到较小边缘的垂直高度。本例中，高度应约为 40 mm，而沿斜面的距离应约为 50 mm。沿不同方向穿过中心测量两个开口，检查它们是否为圆形。

观察到的情况	接下来检查
两个开口都太小	确认保留的扇形角度，并检查接缝是否重叠过多。
两个开口都太大	检查接缝是否留有缝隙，或保留的扇形角度是否过大。
斜向距离正确，但垂直高度不对	重新检查两个开口的直径，以及两端边缘是否平行。
截面线在接缝处无法对齐	检查径向边缘是否对齐，且没有沿长度方向滑动。
纸壳出现棱角或平面板块	检查纸张是否沿辅助线压出了折痕。

如果 R 等于 r，形状就是圆柱，而这些公式会出现除以零的情况；此时应使用长为圆周长、宽为高度的矩形。如果 r 等于零，较小开口就消失，展开图变为完整圆锥的扇形。若锥度非常小，R − r 就会很小，展开图圆心会远在外侧，使手工用圆规绘制变得繁琐。BCcampus 的放射线展开课程指出，圆心位置在实际操作中应当较易定位。

要成功制作，首先要确保水平截面数据一致，平面展开图使用斜向距离，并沿标记的接缝闭合。将截面数据表和展开图尺寸一并保存，这样就能复现圆锥台，或在调整尺寸时无需重新推导几何关系。

• 圆锥台展开图——钣金展开图：钣金一级，Brian Coey
• 放射线展开图——钣金展开图：钣金一级，Brian Coey
• 第 36 讲：截切立体的表面展开——直圆锥的展开，NPTEL
• 圆锥台——Wolfram MathWorld