चौथी स्थानिक दिशा को समय से अलग समझें

गणित में "आयाम" का क्या अर्थ है?

एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक एक स्वतंत्र निर्देशांक को आयाम कहा जाता है। एक सपाट कागज पर, दो निर्देशांक—जिन्हें अक्सर x और y कहा जाता है—एक बिंदु की स्थिति बताते हैं। सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तीसरा निर्देशांक, z, गहराई प्रदान करता है। गणित इस निर्देशांक प्रणाली का विस्तार कर सकता है: चार-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को (x, y, z, w) के रूप में लिखा जा सकता है। इस गणितीय मॉडल में अतिरिक्त निर्देशांक w स्थानिक है; यह स्वतः ही समय नहीं बन जाता।

यह विस्तार परिचित आकृतियों के समान पैटर्न का ही अनुसरण करता है। एक रेखाखंड एक-आयामी होता है, एक वर्ग द्वि-आयामी होता है, और एक घन त्रि-आयामी होता है। घन का चार-आयामी प्रतिरूप टेसेरैक्ट (tesseract) है, जिसे चार-आयामी हाइपरक्यूब भी कहा जाता है। वॉल्फ्राम मैथवर्ल्ड (Wolfram MathWorld) का हाइपरक्यूब संदर्भ रेखाखंड से वर्ग, घन और टेसेरैक्ट की प्रगति का वर्णन करता है।

निर्देशांक मॉडल का वर्णन करने का एक तरीका हैं, न कि यह दावा कि हम रोज़मर्रा के जीवन में चार स्थानिक दिशाओं को देख सकते हैं या उनमें गति कर सकते हैं। समीकरणों का अभी भी सुसंगत रूप से अध्ययन किया जा सकता है, ठीक उसी तरह जैसे किसी पन्ने पर कल्पित द्वि-आयामी प्राणी को उस दिशा की कल्पना करने में कठिनाई होगी जो पन्ने से ऊपर उठती है।

समय को कभी-कभी चौथा आयाम क्यों कहा जाता है?

सापेक्षता में, एक घटना—जो किसी विशेष स्थान और समय पर घटित होती है—को तीन स्थानिक निर्देशांकों और एक समय निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। यह चार-आयामी स्पेसटाइम के पीछे का विचार है, जैसा कि आइंस्टीन ऑनलाइन (Einstein Online) द्वारा समझाया गया है। समय विवरण में एक निर्देशांक की भूमिका निभाता है, लेकिन यह स्थानिक निर्देशांकों से भिन्न होता है: यह घटनाओं को क्रमबद्ध करता है, और सापेक्षता के समीकरण इसे दूरी से अलग मानते हैं। इसलिए इस संदर्भ में "समय चौथा आयाम है" एक उपयोगी संक्षिप्त रूप (शॉर्टहैंड) है, न कि यह कथन कि समय केवल एक अन्य दिशा है जिस पर आप सड़क की तरह चल सकते हैं।

संदर्भों को अलग रखें: एक गणितज्ञ (x, y, z, w) निर्देशांकों के साथ चार-आयामी अंतरिक्ष पर चर्चा कर सकता है, जबकि एक भौतिक विज्ञानी तीन स्थानिक निर्देशांकों और एक समय निर्देशांक के साथ स्पेसटाइम का वर्णन कर सकता है। "चौथा" शब्द निर्देशांकों की सूची में केवल एक स्थान की पहचान करता है; अपने आप में, यह आपको यह नहीं बताता कि वह किस प्रकार का निर्देशांक है।

एक सपाट पन्ने पर चार-आयामी आकृति कैसे दिखाई जा सकती है?

टेसेरैक्ट का रेखाचित्र एक प्रक्षेप (प्रोजेक्शन) है: यह एक उच्च-आयामी वस्तु के बारे में जानकारी को दो आयामों में संकुचित करता है। एक परिचित उपमा कागज पर एक घन बनाने की है। घन के तीन स्थानिक आयाम होते हैं, लेकिन इसका रेखाचित्र एक सपाट सतह पर रेखाओं का एक संग्रह मात्र होता है। परिप्रेक्ष्य (पर्सपेक्टिव) और रेखाओं का स्थान गहराई का आभास कराते हैं; कागज में स्वयं घन की गहराई समाहित नहीं होती।

एक दूसरा उपयोगी सादृश्य टुकड़ों (स्लाइस) का ढेर है। कल्पना कीजिए कि एक सपाट समतल किसी त्रि-आयामी वस्तु के आर-पार गुजर रहा है। प्रत्येक स्थिति में, समतल एक द्वि-आयामी अनुप्रस्थ-काट (क्रॉस-सेक्शन) काटता है; बदलते क्रॉस-सेक्शन का क्रम पूरी वस्तु के बारे में सुराग देता है। इसी भावना के साथ, एक चार-आयामी वस्तु पर बदलते त्रि-आयामी स्लाइस के माध्यम से विचार किया जा सकता है। हम उन स्लाइस या उनके प्रक्षेपों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, भले ही यह प्रतिनिधित्व कुछ जानकारी छोड़ देता हो।

एक सामान्य टेसेरैक्ट रेखाचित्र दो घनों का उपयोग करता है, एक दूसरे के अंदर, जिनके संगत कोने जुड़े होते हैं। इसे एक प्रक्षेप के रूप में समझें, न कि सचमुच सामान्य स्थान में एक बड़े घन के अंदर बैठे एक छोटे घन के रूप में। जोड़ने वाली रेखाएं उन संबंधों को दर्शाती हैं जिन्हें पन्ने की तुलना में चार आयामों में समझना अधिक आसान है।

एक चतुर्थ-आयाम स्केच गतिविधि आज़माएं

आपको एक पेंसिल और कागज की आवश्यकता होगी। इसका लक्ष्य एक स्पष्ट दृश्य सादृश्य बनाना है, न कि चार-आयामी अंतरिक्ष का भौतिक रूप से सटीक दृश्य प्रस्तुत करना।

अपने रेखाचित्र की तुलना घन के सादृश्य से करें: कागज पर रेखाएं द्वि-आयामी हैं, फिर भी वे एक त्रि-आयामी वस्तु का आभास कराने में मदद करती हैं। इसी तरह, एक टेसेरैक्ट स्केच एक द्वि-आयामी प्रक्षेप है जिसका उद्देश्य चार-आयामी मॉडल में संबंधों का आभास कराना है। विभिन्न प्रक्षेप अलग दिख सकते हैं क्योंकि प्रत्येक रेखाचित्र विभिन्न पहलुओं को देखना आसान बनाता है।

आपको किस अर्थ का उपयोग करना चाहिए?

चार-आयामी अंतरिक्ष (four-dimensional space) का उपयोग तब करें जब चर्चा ज्यामिति, निर्देशांकों, या टेसेरैक्ट जैसी आकृतियों के बारे में हो, और चौथा निर्देशांक मॉडल में एक अन्य स्थानिक निर्देशांक हो। चार-आयामी स्पेसटाइम (four-dimensional spacetime) का उपयोग तब करें जब चर्चा सापेक्षता में घटनाओं के बारे में हो, जहां तीन निर्देशांक स्थान निर्दिष्ट करते हैं और चौथा समय निर्दिष्ट करता है। कला में, टेसेरैक्ट की छवि को प्रक्षेप या विज़ुअलाइज़ेशन कहें: यह पाठकों को बताता है कि रेखाचित्र सीधे चौथी स्थानिक दिशा दिखाने के बजाय एक गणितीय विचार का प्रतिनिधित्व करता है।

मुख्य प्रश्न केवल यह नहीं है कि "चौथा आयाम क्या है?" बल्कि यह है कि "हम किस चार-निर्देशांक मॉडल की बात कर रहे हैं?" एक बार जब आप जान जाते हैं कि चौथा निर्देशांक अंतरिक्ष का प्रतिनिधित्व करता है या समय का, तो यह वाक्यांश बहुत कम रहस्यमय रह जाता है।

स्रोत और दायरा

मैथवर्ल्ड हाइपरक्यूब परिभाषा का समर्थन करता है; आइंस्टीन ऑनलाइन स्पेसटाइम के अंतर का समर्थन करता है। कागज पर स्केच एक मौलिक शिक्षण गतिविधि है।

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