第4の空間方向と時間の区別
「4次元」が何を意味するのかを問う場合、その答えは文脈によって異なります。数学においては、縦、横、高さに加わる「第4の空間方向」を意味することがあります。時空に関する多くの科学的説明では、4番目の座標は時間であり、空間の3つの座標と併せて使用されます。視覚芸術のアーティストは4つの空間方向を直接見せることはできませんが、投影図や断面の連続をスケッチすることで、4次元の形状がどのように見えるかを示唆することができます。
数学における「次元」とはどういう意味か？
次元とは、位置を特定するために必要な独立した座標のことです。平面上では、一般にxおよびyと呼ばれる2つの座標で点が特定されます。通常の3次元空間では、3番目の座標zが奥行きを与えます。数学ではこの座標系を拡張できます。4次元空間の点は (x, y, z, w) と表すことができます。この数学モデルにおいて、追加された座標wは空間的なものであり、自動的に時間になるわけではありません。
この拡張は、身近な図形と同じパターンに従っています。線分は1次元、正方形は2次元、立方体は3次元です。立方体の4次元における類似物はテセラクトであり、4次元超立方体とも呼ばれます。Wolfram MathWorldの超立方体に関する参考文献では、線分から正方形、立方体、そしてテセラクトへの発展が説明されています。
座標はモデルを記述するための方法であり、私たちが日常生活で4つの空間方向を見たり移動したりできると主張するものではありません。紙の上に描かれた2次元の生き物が、紙から離れる方向を想像するのが困難であるのと同様に、方程式自体は一貫して研究することができます。
なぜ時間は「第4の次元」と呼ばれることがあるのか？
相対性理論において、特定の場所と時間で起こる事象（出来事）は、3つの空間座標と1つの時間座標を用いて記述されます。これが、Einstein Onlineでも説明されている「4次元時空」の背後にある考え方です。時間は記述において座標の役割を果たしますが、空間座標とは異なります。時間は事象を順序づけ、相対性理論の方程式でも距離とは異なる扱いを受けます。したがって、この文脈における「時間は第4の次元である」という表現は便利な略称であり、街路のように歩いて進むことができる単なる別の方向であるという意味ではありません。
文脈を分けて考えてください。数学者は座標 (x, y, z, w) を持つ4次元空間を議論するかもしれませんが、物理学者は3つの空間座標と1つの時間座標を持つ時空を記述する場合があります。「4番目」という言葉は座標のリストにおける位置を示すだけであり、それ自体はその座標がどのような種類であるかを教えてくれるわけではありません。
4次元の図形を平らな紙の上にどのように表現できるか？
テセラクトの描画は「投影」です。高次元の物体に関する情報を2次元に圧縮しています。身近な例として、紙に立方体を描くことが挙げられます。立方体には3つの空間次元がありますが、その図は平面上の線の集まりにすぎません。遠近法と線の配置が奥行きを感じさせますが、紙自体に立方体の奥行きが含まれているわけではありません。
もう一つの有用な例えは、スライスの積み重ねです。平らな平面が3次元の物体を通過していくところを想像してみてください。各位置において、平面は2次元の断面を切り取ります。変化する断面の連続が、物体全体に関する手がかりを与えてくれます。同じように、4次元の物体は変化する3次元のスライスを通じて考えることができます。表現によって一部の情報が失われるとしても、それらのスライスやその投影を表現することは可能です。
一般的なテセラクトの図では、2つの立方体（1つはもう1つの内側にある）を使用し、対応する角同士を接続します。これは通常の空間において大きな立方体の内側に小さな立方体が文字通り存在しているのではなく、投影図として解釈してください。結ばれた線は、紙の上よりも4次元において理解しやすい関係性を表しています。
4次元スケッチのアクティビティを試してみよう
鉛筆と紙を用意してください。目標は、4次元空間の物理的に正確な視図を作成することではなく、明確な視覚的類似物（アナロジー）を作成することです。
描いた絵を立方体の例えと比較してみてください。紙の上の線は2次元ですが、3次元の物体を思い起こさせるのに役立っています。同様に、テセラクトのスケッチは、4次元モデルにおける関係性を示唆することを目的とした2次元の投影図です。それぞれの図によって見えやすくなる側面が異なるため、投影方法が変われば見た目も異なる場合があります。
どちらの意味を使うべきか？
幾何学、座標、またはテセラクトのような図形についての議論であり、第4の座標がモデルにおけるもう一つの空間座標である場合は、「4次元空間」を使用してください。3つの座標で位置を指定し、4つ目の座標で時間を指定するような相対性理論の事象についての議論である場合は、「4次元時空」を使用してください。アートにおいては、テセラクトの画像を「投影図」や「視覚化」と呼びましょう。そうすることで、その図が第4の空間方向を直接見せているのではなく、数学的なアイデアを表現したものであることが読者に伝わります。
重要な問いは、単に「4次元とは何か？」ではなく、「どの4座標モデルについて話しているのか？」ということです。第4の座標が空間を表しているのか、それとも時間を表しているのかが分かれば、この言葉はずっと分かりやすいものになります。
情報源と適用範囲
超立方体の定義はMathWorldを、時空の区別はEinstein Onlineを参考にしています。紙へのスケッチは独自の学習アクティビティです。