Membedakan arah spasial keempat dari waktu
Jika Anda bertanya apa arti "dimensi keempat", jawabannya tergantung pada konteks bahasannya. Dalam matematika, ini dapat berarti arah spasial keempat yang ditambahkan ke panjang, lebar, dan tinggi. Dalam banyak deskripsi ilmiah tentang ruang-waktu, koordinat keempat adalah waktu, yang digunakan bersama tiga koordinat ruang. Seniman visual tidak dapat menampilkan empat arah spasial secara langsung, tetapi mereka dapat membuat sketsa proyeksi atau urutan irisan untuk memberi gambaran bagaimana wujud bentuk empat dimensi.
Apa arti "dimensi" dalam matematika?
Dimensi adalah koordinat independen yang diperlukan untuk menentukan lokasi suatu titik. Pada selembar kertas datar, dua koordinat—sering disebut x dan y—menentukan letak suatu titik. Dalam ruang tiga dimensi biasa, koordinat ketiga, z, memberikan kedalaman. Matematika dapat memperluas sistem koordinat ini: sebuah titik dalam ruang empat dimensi dapat ditulis sebagai (x, y, z, w). Koordinat tambahan w bersifat spasial dalam model matematika ini; koordinat tersebut tidak otomatis berupa waktu.
Perluasan ini mengikuti pola yang sama seperti bentuk-bentuk yang sudah kita kenal. Ruas garis adalah satu dimensi, persegi adalah dua dimensi, dan kubus adalah tiga dimensi. Bentuk analog empat dimensi dari kubus adalah tesseract, yang juga disebut hiperkubus empat dimensi. Referensi hiperkubus di Wolfram MathWorld menjelaskan perkembangan dari ruas garis ke persegi, kubus, dan tesseract.
Koordinat adalah cara untuk mendeskripsikan model tersebut, bukan klaim bahwa kita dapat melihat atau bergerak melalui empat arah spasial dalam kehidupan sehari-hari. Persamaan-persamaannya tetap dapat dipelajari secara konsisten, sama seperti makhluk dua dimensi yang dibayangkan hidup di atas selembar halaman akan kesulitan membayangkan arah yang mengarah ke atas menjauhi halaman tersebut.
Mengapa waktu terkadang disebut sebagai dimensi keempat?
Dalam relativitas, suatu peristiwa—sesuatu yang terjadi di tempat dan waktu tertentu—dideskripsikan menggunakan tiga koordinat spasial dan satu koordinat waktu. Inilah gagasan di balik ruang-waktu empat dimensi, seperti yang dijelaskan oleh Einstein Online. Waktu berperan sebagai koordinat dalam deskripsi tersebut, tetapi berbeda dari koordinat spasial: waktu menyusun urutan peristiwa, dan persamaan relativitas memperlakukannya secara berbeda dari jarak. Jadi, "waktu adalah dimensi keempat" merupakan istilah singkat yang berguna dalam konteks ini, bukan pernyataan bahwa waktu hanyalah arah lain yang bisa Anda lalui dengan berjalan kaki layaknya sebuah jalanan.
Pisahkan konteksnya: seorang matematikawan mungkin membahas ruang empat dimensi dengan koordinat (x, y, z, w), sementara seorang fisikawan mungkin mendeskripsikan ruang-waktu dengan tiga koordinat spasial dan satu koordinat waktu. Kata "keempat" hanya mengidentifikasi urutan dalam daftar koordinat; kata itu sendiri tidak memberi tahu Anda jenis koordinat apa itu.
Bagaimana bentuk empat dimensi dapat ditampilkan di atas halaman datar?
Gambar tesseract merupakan sebuah proyeksi: gambar tersebut memadatkan informasi tentang objek berdimensi lebih tinggi ke dalam dua dimensi. Analogi yang sudah lazim adalah menggambar kubus di atas kertas. Kubus memiliki tiga dimensi spasial, tetapi gambarnya adalah kumpulan garis di atas permukaan datar. Perspektif dan penempatan garis memberi kesan kedalaman; kertas itu sendiri tidak memuat kedalaman kubus tersebut.
Analogi kedua yang berguna adalah tumpukan irisan. Bayangkan melewatkan sebuah bidang datar melalui objek tiga dimensi. Di setiap posisi, bidang tersebut memotong penampang melintang dua dimensi; urutan penampang melintang yang berubah-ubah memberikan petunjuk mengenai keseluruhan objek tersebut. Dengan semangat yang sama, objek empat dimensi dapat dipahami melalui irisan tiga dimensi yang berubah-ubah. Kita dapat merepresentasikan irisan-irisan tersebut atau proyeksinya, meskipun representasi tersebut mengabaikan beberapa informasi.
Gambar tesseract yang umum menggunakan dua kubus, yang satu berada di dalam yang lain, dengan sudut-sudut yang bersesuaian saling terhubung. Pahami ini sebagai sebuah proyeksi, bukan secara harfiah kubus kecil yang berada di dalam kubus yang lebih besar dalam ruang biasa. Garis-garis penghubung tersebut mewakili hubungan yang lebih mudah dipahami dalam empat dimensi daripada di atas selembar kertas.
Cobalah aktivitas membuat sketsa dimensi keempat
Anda memerlukan pensil dan kertas. Tujuannya adalah membuat analogi visual yang jelas, bukan menghasilkan tampilan ruang empat dimensi yang akurat secara fisik.
Bandingkan gambar Anda dengan analogi kubus: garis-garis di atas kertas adalah dua dimensi, namun garis-garis tersebut membantu memberi kesan objek tiga dimensi. Demikian pula, sketsa tesseract adalah proyeksi dua dimensi yang dimaksudkan untuk memberi kesan adanya hubungan dalam model empat dimensi. Berbagai proyeksi yang berbeda dapat terlihat berbeda karena masing-masing gambar mempermudah pengamatan aspek yang berbeda.
Makna mana yang sebaiknya Anda gunakan?
Gunakan ruang empat dimensi ketika pembahasannya mengenai geometri, koordinat, atau bentuk-bentuk seperti tesseract, dan koordinat keempat adalah koordinat spasial lain dalam model tersebut. Gunakan ruang-waktu empat dimensi ketika pembahasannya mengenai peristiwa dalam relativitas, di mana tiga koordinat menentukan lokasi dan koordinat keempat menentukan waktu. Dalam seni, sebut gambar tesseract sebagai proyeksi atau visualisasi: hal ini memberi tahu pembaca bahwa gambar tersebut merepresentasikan ide matematis alih-alih menunjukkan arah spasial keempat secara langsung.
Pertanyaan kuncinya bukan sekadar "Apa itu dimensi keempat?", melainkan "Model empat koordinat mana yang sedang kita bicarakan?" Begitu Anda mengetahui apakah koordinat keempat mewakili ruang atau waktu, frasa tersebut menjadi jauh lebih mudah dipahami.
Sumber dan cakupan
MathWorld mendukung definisi hiperkubus; Einstein Online mendukung perbedaan ruang-waktu. Sketsa di atas kertas adalah aktivitas pembelajaran orisinal.