Skilj en fjärde rumslig riktning från tid

En dimension är en oberoende koordinat som behövs för att ange en punkts position. På ett plant papper anger två koordinater, ofta kallade x och y, en punkts position. I det vanliga tredimensionella rummet ger en tredje koordinat, z, djup. Matematiken kan utvidga det här koordinatsystemet: en punkt i fyrdimensionellt rum kan skrivas som (x, y, z, w). Den extra koordinaten w är rumslig i den här matematiska modellen; den är inte automatiskt tid.

Den här utvidgningen följer samma mönster som välbekanta former. Ett linjesegment är endimensionellt, en kvadrat är tvådimensionell och en kub är tredimensionell. Motsvarigheten till en kub i fyra dimensioner är en tesserakt, även kallad en fyrdimensionell hyperkub. Wolfram MathWorlds referens om hyperkuber beskriver stegen från linjesegment till kvadrat, kub och tesserakt.

Koordinaterna är ett sätt att beskriva modellen, inte ett påstående om att vi kan se eller röra oss i fyra rumsliga riktningar i vardagen. Ekvationerna kan ändå studeras konsekvent, ungefär som en tänkt tvådimensionell varelse på ett papper skulle ha svårt att föreställa sig riktningen rakt ut från pappret.

Inom relativitetsteorin beskrivs en händelse – något som sker på en viss plats och vid en viss tidpunkt – med tre rumsliga koordinater och en tidskoordinat. Det här är idén bakom fyrdimensionell rumtid, som förklaras av Einstein Online. Tid spelar rollen som en koordinat i beskrivningen, men skiljer sig från de rumsliga koordinaterna: den ordnar händelser i tid, och relativitetsteorins ekvationer behandlar den annorlunda än avstånd. Därför är ”tid är den fjärde dimensionen” en användbar förenkling i det här sammanhanget, inte ett påstående om att tid helt enkelt är ännu en riktning som man kan gå längs, som på en gata.

Håll sammanhangen åtskilda: en matematiker kan tala om fyrdimensionellt rum med koordinaterna (x, y, z, w), medan en fysiker kan beskriva rumtiden med tre rumsliga koordinater och en tidskoordinat. Ordet ”fjärde” anger en plats i en lista med koordinater; i sig talar det inte om vilken sorts koordinat det är.

En teckning av en tesserakt är en projektion: den sammanför information om ett objekt med fler dimensioner på en tvådimensionell yta. En välbekant jämförelse är att rita en kub på papper. Kuben har tre rumsliga dimensioner, men teckningen består av linjer på en plan yta. Perspektiv och linjernas placering antyder djup; själva pappret rymmer inte kubens djup.

En annan användbar jämförelse är en stapel av snitt. Tänk dig att ett plant snitt passerar genom ett tredimensionellt objekt. Vid varje position skär planet ut ett tvådimensionellt tvärsnitt; serien av tvärsnitt som förändras ger ledtrådar om hela objektet. På liknande sätt kan man betrakta ett fyrdimensionellt objekt genom föränderliga tredimensionella snitt. Vi kan återge snitten eller deras projektioner, även om återgivningen utelämnar en del information.

En vanlig teckning av en tesserakt består av två kuber, den ena inuti den andra, med motsvarande hörn sammanbundna. Tolka det som en projektion, inte som en bokstavlig liten kub inuti en större kub i det vanliga rummet. Förbindelselinjerna representerar relationer som är lättare att förstå i fyra dimensioner än på papperet.

Du behöver en penna och papper. Målet är att skapa en tydlig visuell jämförelse, inte att återge en fysikaliskt korrekt vy av fyrdimensionellt rum.

Jämför teckningen med kubjämförelsen: linjerna på papperet är tvådimensionella, men hjälper ändå till att antyda ett tredimensionellt objekt. På samma sätt är en skiss av en tesserakt en tvådimensionell projektion som ska antyda relationer i en fyrdimensionell modell. Olika projektioner kan se olika ut eftersom varje teckning gör det lättare att se olika aspekter.

Använd fyrdimensionellt rum när diskussionen handlar om geometri, koordinater eller former som tesserakten och den fjärde koordinaten är ytterligare en rumslig koordinat i modellen. Använd fyrdimensionell rumtid när diskussionen handlar om händelser inom relativitetsteorin, där tre koordinater anger platsen och en fjärde anger tiden. Inom konst kan du kalla en bild av en tesserakt för en projektion eller visualisering: då framgår det för läsaren att teckningen återger en matematisk idé i stället för att visa en fjärde rumslig riktning direkt.

Nyckelfrågan är inte bara ”Vad är den fjärde dimensionen?” utan ”Vilken fyrkoordinatsmodell talar vi om?” När du vet om den fjärde koordinaten står för rum eller tid blir uttrycket mycket mindre mystiskt.

MathWorld stöder definitionen av hyperkub; Einstein Online stöder skillnaden mellan rum och rumtid. Pappersskissen är en egen lärandeövning.