Een statisch kamfilter afstemmen op een noot

Een kamfilter heeft een herhalend patroon van pieken en dalen in de frequentierespons. Hier zijn twee basisstructuren van belang: een feedforward-kamfilter combineert een ingangssignaal met een vertraagde kopie, terwijl een feedback-kamfilter de vertraagde uitvoer terugvoert. De feedbackstructuur produceert een uitdovende reeks herhalingen en is het relevante uitgangspunt als je een resonerend geluid wilt. “Comb Filters” van Julius O. Smith legt beide structuren uit.

In dit artikel betekent afstemmen dat je de laagste niet-nulresonantie op de doelfrequentie plaatst. Deze definitie neemt een dubbelzinnigheid weg: als je een hogere piek op een noot plaatst, betekent dat niet noodzakelijk dat die noot de basis vormt van het resonantiepatroon.

“Statisch” betekent dat de afstemming tijdens het geluid vast blijft. Schakel voor de eerste instelling modulatie van vertraging of toonhoogte uit, waaronder enveloppen, LFO’s, automatisering en keyboardtracking. Een modus voor vaste noten is handig als die beschikbaar is. De modus Fix van Massive X stelt bijvoorbeeld de kamfilterafstemming onafhankelijk in van de binnenkomende MIDI-toonhoogte. Massive X-handleiding: Filter

Kies eerst een noot, octaaf en stemreferentie. Bij twaalftoons gelijkzwevende stemming met A4 ingesteld op 440 Hz is de frequentie:

[ f_0=440\times2^{(n-69)/12} ]

Hierbij is (n) het MIDI-nootnummer: A4 is 69 en de centrale C is 60. De referentie voor nootfrequenties van Inspired Acoustics bevat deze formule en de bijbehorende tabel.

Bereken voor een eenvoudige kamfilter met positieve terugkoppeling:

[ T_{\text{ms}}=\frac{1000}{f_0} ]

De resonanties liggen dan op (f_0,2f_0,3f_0,\ldots), binnen het beschikbare frequentiebereik. Cycling ’74 illustreert deze relatie met een vertraging van 2 ms, die een afstand van 500 Hz oplevert. MSP Delay Tutorial 6: Comb Filter

De volgende waarden zijn berekend met deze formules en A4 = 440 Hz. In de kolom voor negatieve terugkoppeling ligt de laagste resonantie op dezelfde doelnoot; de reden voor de kortere vertraging wordt hierna uitgelegd.

Doelnoot	Frequentie	Vertraging bij positieve terugkoppeling	Vertraging bij negatieve terugkoppeling
A2	110.000 Hz	9.091 ms	4.545 ms
C3	130.813 Hz	7.645 ms	3.822 ms
A3	220.000 Hz	4.545 ms	2.273 ms
C4	261.626 Hz	3.822 ms	1.911 ms
A4	440.000 Hz	2.273 ms	1.136 ms
C5	523.251 Hz	1.911 ms	0.956 ms

Gebruik de frequentie die past bij je werkelijke stemreferentie. Controleer ook de eenheid naast de regelaar: 2,273 milliseconden is 0,002273 seconden. Als het apparaat rechtstreeks een noot of frequentie accepteert, gebruik dan die instelling en controleer het resulterende spectrum in plaats van het onnodig om te rekenen naar milliseconden.

In het eenvoudige model dat hier wordt gebruikt, wordt terugkoppeling gedefinieerd als (y[n]=x[n]+g,y[n-M]). Bij positieve (g) liggen resonanties op gehele veelvouden van de inverse vertraging. Bij negatieve (g) verschuiven ze naar posities halverwege. Deze plaatsing afhankelijk van de polariteit wordt afgeleid in de analyse van kamfilters door Smith.

Uitgedrukt in seconden zijn de twee patronen:

• Positieve terugkoppeling: (f_k=k/T), met de eerste niet-nul piek op (1/T).
• Negatieve terugkoppeling: (f_k=(2k+1)/(2T)), met de eerste piek op (1/(2T)).

Daarom is bij negatieve terugkoppeling de volgende instelling nodig:

[ T_{\text{ms}}=\frac{500}{f_0} ]

In een voorbeeld met A4 levert positieve terugkoppeling bij 2,273 ms pieken op ongeveer 440, 880 en 1.320 Hz. Als je zonder de vertraging te veranderen overschakelt op negatieve terugkoppeling, liggen de pieken op ongeveer 220, 660 en 1.100 Hz. Als je de vertraging voor negatieve terugkoppeling verkort tot 1,136 ms, liggen de pieken op ongeveer 440, 1.320 en 2.200 Hz.

Zo kun je praktisch kiezen: positieve terugkoppeling voor een volledige reeks gehele harmonischen, of negatieve terugkoppeling voor oneven veelvouden van de gekozen grondtoon. Massive X beschrijft hetzelfde onderscheid tussen alle harmonischen en alleen oneven harmonischen voor de polariteitsregeling van de terugkoppeling. Massive X-handleiding: Comb

Controleer de tekenconventie in de handleiding voordat je een plus- of minteken op een knop interpreteert. Bepaal ook welk signaal een polariteitsschakelaar omkeert: de polariteit van een extern wet-signaal veranderen is iets anders dan de polariteit van de feedbacklus veranderen.

Gebruik deze volgorde om de afstemming los te koppelen van het karakter van de geluidsbron. Je hebt een kamfilter of processor met korte vertraging, een testsignaal en een spectrumanalysator nodig die afzonderlijke pieken rond je doel kan weergeven.

1. Begin met een eenvoudige configuratie. Schakel vertragingmodulatie, tempogestuurde synchronisatie en toonhoogtetracking uit. Schakel optionele dispersie- of allpassverwerking waar mogelijk uit.
2. Kies de polariteit van de terugkoppeling. Gebruik de bijbehorende bovenstaande vertragingformule.
3. Voer de berekende vertraging in. Begin met gematigde terugkoppeling en verhoog die vervolgens genoeg om het resonantiepatroon duidelijk te kunnen aflezen.
4. Test met breedbandig materiaal. Gebruik ruis of een korte breedbandige puls. Luister eerst alleen naar de verwerkte uitvoer, voordat je een parallelle droge signaalroute toevoegt.
5. Zoek de laagste bedoelde piek. Controleer de frequentie ervan en vergelijk minstens twee aangrenzende pieken met de verwachte reeks.
6. Stem de vertraging nauwkeurig af. Herhaal de test na elke aanpassing en houd de andere regelaars gelijk.

Cycling ’74 gebruikt witte ruis en een puls met veel harmonischen als testsignalen. Daarbij wordt uitgelegd dat filtering makkelijker te zien is als de ingang veel frequenties bevat. Breedbandig materiaal is daarom een handig diagnosmiddel voordat je je muzikale bron test. Cycling ’74: De kamfilter uitproberen

Zoek bij A4 met positieve terugkoppeling naar pieken rond 440, 880 en 1.320 Hz. Eén piek rond 440 Hz is geen afdoende bevestiging: die kan ook een hogere resonantie zijn in een reeks die op een lagere frequentie is afgestemd. Door de aangrenzende pieken te controleren, test je zowel de afstemming als je interpretatie van de polariteit.

Als je de uitklinkende staart na een puls meet, gebruik dan genoeg terugkoppeling om die zichtbaar te houden. Voor het ideale feedbackmodel moet de magnitude van de terugkoppeling kleiner zijn dan één om een uitdovende respons te krijgen; de exacte relatie tussen het percentage dat een apparaat weergeeft en de interne coëfficiënt hangt af van de implementatie. Smith: Feedback Comb Filters

Controleer eerst de resolutie van de vertragingsregelaar. Bij een samplefrequentie (f_s) is de ideale positieve-feedbackvertraging in samples:

[ M=\frac{f_s}{f_0} ]

Voor het voorbeeld van A4 op 48 kHz is dit 109,0909 samples. Een vertraging die alleen gehele waarden gebruikt, kan dat niet exact weergeven.

Berekend met (f=f_s/M) geeft 109 samples ongeveer 440,367 Hz, zo’n 1,44 cent te hoog. Een vertraging van 110 samples geeft ongeveer 436,364 Hz, zo’n 14,37 cent te laag. Een nauwkeurig weergegeven millisecondewaarde zegt op zichzelf dus niets over de effectieve stemresolutie van de processor.

Verwerking met fractional delay kan vertragingen tussen gehele sampleposities weergeven. Verschillende interpolatiemethoden hebben verschillend amplitude- en fasegedrag; Smith bespreekt specifiek interpolatiekeuzes binnen feedbacklussen. “Delay-Line and Signal Interpolation”

Gebruik voor een processor die de inverse-vertragingsrelatie bij benadering volgt deze correctie op basis van een meting:

[ T_{\text{nieuw}}\approx T_{\text{oud}}\times\frac{f_{\text{gemeten}}}{f_{\text{doel}}} ]

Stel bijvoorbeeld dat een hypothetische meting een piek van 435 Hz bij 2,30 ms laat zien en je doel 440 Hz is. Het gecorrigeerde startpunt is dan (2,30\times435/440\approx2,274) ms. Dit is een rekenvoorbeeld, geen gemeten productresultaat. Test opnieuw nadat je dit hebt toegepast. Als de regelaars nootoffsets gebruiken, pas dan de fijnstemmingsregeling aan op basis van de gemeten piek.

Een processor kan meer bevatten dan alleen een vertraging en terugkoppelingsversterking. De documentatie van de C15 van Nonlinear Labs beschrijft zowel een allpassfilter als een laagdoorlaatfilter in de feedbacktak van de kamfilter. De allpass verandert de fase afhankelijk van de frequentie en werkt daardoor als een extra, frequentieafhankelijke vertraging. C15-gebruikershandleiding: Comb Filter

Daarom is de formule voor de inverse vertraging een startpunt voor een complexere resonator. Stel eerst de eenvoudige afstemming in, voeg de gewenste dispersie toe en meet vervolgens opnieuw. Als de pieken niet langer een reeks gehele veelvouden volgen, bepaal dan welke resonantie je op de noot wilt verankeren in plaats van te proberen alle pieken uit te lijnen.

Demping verandert ook de balans van de uitklinkende staart. In het laagdoorlaat-feedbackmodel dat Smith documenteert, doven hogere frequenties sneller uit dan lagere frequenties. “Lowpass-Feedback Comb Filter”

Stel de uiteindelijke demping en terugkoppeling in voordat je de laatste afstemmingscontrole uitvoert. Beschrijf de instelling bij bewust ongelijkmatige afstand tussen de partiële tonen als een geselecteerde resonantie die op de noot is verankerd; het volledige spectrum vormt dan mogelijk niet langer de harmonische reeks van die noot.

Zodra het testsignaal de verwachte pieken laat zien, herstel je de bedoelde bron en stel je op basis van je waarnemingen een diagnose van het resterende probleem.

Waarneming	Volgende controle
De waargenomen toonhoogte ligt een octaaf lager	Controleer de polariteit van de terugkoppeling en de laagste resonantie opnieuw.
Het resonantiepatroon verschuift tijdens het afspelen	Controleer vertragingmodulatie, toonhoogte-enveloppen, automatisering en keyboardtracking.
De afstemming is zichtbaar met ruis, maar de bron resoneert nauwelijks	Controleer of de bron energie levert rond de bedoelde resonanties.
De afstemming verandert na aanpassingen van de klankkleur	Controleer filters in de feedbackroute en dispersie opnieuw.
Kleine wijzigingen in de vertraging schieten voorbij het doel	Controleer de parameterresolutie en ondersteuning voor fractional delay.

De controle van de bronenergie volgt uit gewone filtering: een lineair kamfilter vormt de frequenties die het binnenkrijgt. Een schaars ingangssignaal kan maar een deel van de respons laten zien. De aanbeveling van Cycling ’74 om bronnen met veel partiële tonen te gebruiken, is hier bijzonder nuttig. MSP Delay Tutorial 6: Comb Filter

Controleer tot slot de uiteindelijke signaalroute en sla de noot, referentiefrequentie, polariteit van de terugkoppeling, vertraging en relevante klankinstellingen samen op. Een geverifieerde statische afstemming bestaat uit een vaste regelaarstand en een resonantiepatroon dat overeenkomt met je gekozen doel. Bereken de vertraging, bekijk meerdere pieken en voer de laatste aanpassing uit met het daadwerkelijke geluid en de instellingen van de feedbackroute actief.

• “Comb Filters” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing
• “MSP Delay Tutorial 6: Comb Filter” — Cycling ’74 Documentation
• “Filter” — Native Instruments, Massive X Manual
• “MIDI note numbers and center frequencies” — Inspired Acoustics
• “Delay-Line and Signal Interpolation” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing
• “Comb Filter” — Nonlinear Labs, C15 User Manual
• “Lowpass-Feedback Comb Filter” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing