Jak dostroić rezonanse statycznego filtra grzebieniowego do dźwięku

Charakterystyka częstotliwościowa filtra grzebieniowego ma powtarzający się układ szczytów i dolin. Znaczenie mają tu dwie podstawowe struktury: filtr grzebieniowy z torem wyprzedzającym łączy sygnał wejściowy z jego opóźnioną kopią, natomiast filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym zawraca opóźniony sygnał wyjściowy. Struktura ze sprzężeniem zwrotnym wytwarza zanikającą serię powtórzeń i jest właściwym punktem wyjścia, gdy chcesz uzyskać wybrzmiewający rezonator. Obie struktury wyjaśnia „Comb Filters” Juliusa O. Smitha.

W tym artykule strojenie oznacza umieszczenie najniższego niezerowego rezonansu na docelowej częstotliwości. To doprecyzowanie usuwa niejasność: umieszczenie dowolnego wyższego szczytu na wybranym dźwięku nie oznacza, że dźwięk ten wyznacza podstawę układu rezonansów.

„Statyczny” oznacza, że strojenie pozostaje niezmienne podczas wybrzmiewania dźwięku. Na początku wyłącz modulację opóźnienia lub wysokości dźwięku, w tym obwiednie, LFO, automatyzację i śledzenie klawiatury. Jeśli jest dostępny, przyda się tryb stałego dźwięku. Na przykład tryb Fix w Massive X ustawia strojenie filtra grzebieniowego niezależnie od przychodzącej wysokości MIDI. Instrukcja Massive X: Filter

Najpierw wybierz dźwięk, oktawę i strój odniesienia. Przy równomiernie temperowanym stroju dwunastotonowym, gdzie A4 ma częstotliwość 440 Hz, częstotliwość wynosi:

[ f_0=440\times2^{(n-69)/12} ]

Tutaj \(n\) to numer dźwięku MIDI: A4 ma numer 69, a środkowe C — 60. Tabela częstotliwości dźwięków Inspired Acoustics zawiera ten wzór oraz odpowiadającą mu tabelę.

W przypadku podstawowego filtra grzebieniowego z dodatnim sprzężeniem zwrotnym oblicz:

[ T_{\text{ms}}=\frac{1000}{f_0} ]

Uzyskane rezonanse występują przy częstotliwościach \(f_0,2f_0,3f_0,\ldots\), w dostępnym zakresie częstotliwości. Cycling ’74 pokazuje tę zależność na przykładzie opóźnienia 2 ms, które daje odstępy co 500 Hz. Samouczek MSP Delay 6: filtr grzebieniowy

Poniższe wartości obliczono z tych równań przy założeniu A4 = 440 Hz. W kolumnie dla ujemnego sprzężenia zwrotnego najniższy rezonans przypada na ten sam docelowy dźwięk; przyczynę krótszego opóźnienia wyjaśniono w następnej sekcji.

Docelowy dźwięk	Częstotliwość	Opóźnienie przy dodatnim sprzężeniu zwrotnym	Opóźnienie przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym
A2	110,000 Hz	9,091 ms	4,545 ms
C3	130,813 Hz	7,645 ms	3,822 ms
A3	220,000 Hz	4,545 ms	2,273 ms
C4	261,626 Hz	3,822 ms	1,911 ms
A4	440,000 Hz	2,273 ms	1,136 ms
C5	523,251 Hz	1,911 ms	0,956 ms

Użyj częstotliwości odpowiedniej dla faktycznego stroju odniesienia. Sprawdź też jednostkę przy regulatorze: 2,273 milisekundy to 0,002273 sekundy. Jeśli urządzenie pozwala bezpośrednio ustawić dźwięk lub częstotliwość, skorzystaj z tej opcji i sprawdź uzyskane widmo zamiast niepotrzebnie przeliczać wartość na milisekundy.

Wykorzystany tu podstawowy model definiuje sprzężenie zwrotne równaniem \(y[n]=x[n]+g\,y[n-M]\). Przy dodatnim \(g\) rezonanse występują przy całkowitych wielokrotnościach odwrotności czasu opóźnienia. Przy ujemnym \(g\) przesuwają się na pozycje w połowie między nimi. To zależne od polaryzacji rozmieszczenie wyprowadza analiza filtra grzebieniowego Smitha.

W sekundach oba układy można zapisać następująco:

• Dodatnie sprzężenie zwrotne: \(f_k=k/T\), a pierwszy niezerowy szczyt występuje przy \(1/T\).
• Ujemne sprzężenie zwrotne: \(f_k=(2k+1)/(2T)\), a pierwszy szczyt występuje przy \(1/(2T)\).

Dlatego w przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego należy ustawić:

[ T_{\text{ms}}=\frac{500}{f_0} ]

W przykładowej konfiguracji A4 dodatnie sprzężenie zwrotne przy opóźnieniu 2,273 ms daje szczyty w pobliżu 440, 880 i 1 320 Hz. Po przełączeniu na ujemne sprzężenie zwrotne bez zmiany opóźnienia szczyty pojawią się w pobliżu 220, 660 i 1 100 Hz. Skrócenie opóźnienia dla ujemnego sprzężenia zwrotnego do 1,136 ms umieści szczyty w pobliżu 440, 1 320 i 2 200 Hz.

W praktyce masz więc wybór: dodatnie sprzężenie zwrotne daje pełny szereg harmoniczny, a ujemne — nieparzyste wielokrotności wybranej częstotliwości podstawowej. W instrukcji Massive X rozróżniono te same układy: wszystkie harmoniczne lub tylko nieparzyste, zależnie od ustawienia polaryzacji sprzężenia zwrotnego. Instrukcja Massive X: Comb

Zanim zinterpretujesz oznaczenia plusa i minusa na regulatorze, sprawdź konwencję przyjętą w instrukcji. Ustal też, który sygnał odwraca przełącznik polaryzacji: zmiana polaryzacji zewnętrznego sygnału przetworzonego to inna operacja niż zmiana polaryzacji w pętli sprzężenia zwrotnego.

Wykonaj poniższe kroki, aby oddzielić strojenie od charakteru źródłowego dźwięku. Potrzebujesz filtra grzebieniowego lub procesora z krótkim opóźnieniem, sygnału testowego i analizatora widma, który pokaże pojedyncze szczyty w pobliżu częstotliwości docelowej.

1. Ustaw prostą konfigurację. Wyłącz modulację opóźnienia, synchronizację z tempem i śledzenie wysokości dźwięku. Jeśli to możliwe, pomiń opcjonalne przetwarzanie dyspersyjne lub all-pass.
2. Wybierz polaryzację sprzężenia zwrotnego. Zastosuj odpowiednie równanie opóźnienia z poprzedniej sekcji.
3. Wprowadź obliczony czas opóźnienia. Zacznij od umiarkowanego sprzężenia zwrotnego, a następnie zwiększ je na tyle, by układ rezonansów był czytelny.
4. Przetestuj sygnałem szerokopasmowym. Użyj szumu lub krótkiego impulsu szerokopasmowego. Najpierw sprawdź samo przetworzone wyjście, zanim dodasz równoległe prowadzenie sygnału suchego.
5. Znajdź najniższy oczekiwany szczyt. Sprawdź jego częstotliwość oraz co najmniej dwa sąsiednie szczyty, porównując je z oczekiwanym szeregiem.
6. Dokładnie dostrój opóźnienie. Powtarzaj test po każdej zmianie, pozostawiając pozostałe regulatory bez zmian.

W samouczku Cycling ’74 jako sygnały testowe wykorzystano biały szum i bogaty harmonicznie impuls. Wyjaśniono tam, że filtrowanie łatwiej zaobserwować, gdy sygnał wejściowy zawiera wiele częstotliwości. Dlatego sygnał szerokopasmowy jest przydatnym narzędziem diagnostycznym przed testem z użyciem właściwego źródła dźwięku. Cycling ’74: testowanie filtra grzebieniowego

Dla A4 z dodatnim sprzężeniem zwrotnym szukaj szczytów w pobliżu 440, 880 i 1 320 Hz. Sam pojedynczy szczyt w pobliżu 440 Hz nie wystarczy do potwierdzenia poprawnego strojenia: może to być wyższy rezonans w szeregu dostrojonym do niższego dźwięku. Sprawdzenie sąsiednich szczytów pozwala zweryfikować zarówno strojenie, jak i interpretację polaryzacji.

Jeśli mierzysz zanikający pogłos po impulsie, ustaw sprzężenie zwrotne tak, by ogon pozostał widoczny. W idealnym modelu sprzężenia zwrotnego zanikająca odpowiedź wymaga, by wartość bezwzględna sprzężenia zwrotnego była mniejsza od jedności; dokładna zależność między wartością procentową wyświetlaną przez urządzenie a jego wewnętrznym współczynnikiem zależy od implementacji. Smith: filtry grzebieniowe ze sprzężeniem zwrotnym

Najpierw sprawdź rozdzielczość regulatora opóźnienia. Przy częstotliwości próbkowania \(f_s\) idealna długość opóźnienia przy dodatnim sprzężeniu zwrotnym wynosi:

[ M=\frac{f_s}{f_0} ]

W przykładzie z A4 przy 48 kHz daje to 109,0909 próbek. Opóźnienie wyrażone wyłącznie całkowitą liczbą próbek nie może przyjąć dokładnie tej wartości.

Z obliczeń \(f=f_s/M\) wynika, że opóźnienie 109 próbek daje około 440,367 Hz, czyli o około 1,44 centa za wysoko. Opóźnienie 110 próbek daje około 436,364 Hz, czyli o około 14,37 centa za nisko. Wartość czasu wyświetlana z dokładnością do ułamka milisekundy sama w sobie nie potwierdza więc rzeczywistej rozdzielczości strojenia procesora.

Przetwarzanie z ułamkowym opóźnieniem pozwala uzyskać wartości między całkowitymi pozycjami próbek. Różne metody interpolacji mają odmienne charakterystyki amplitudowe i fazowe; Smith omawia wpływ wyboru interpolacji wewnątrz pętli sprzężenia zwrotnego. „Interpolacja linii opóźniających i sygnałów”

W przypadku procesora, który w przybliżeniu spełnia zależność odwrotnej proporcjonalności czasu opóźnienia, zastosuj poniższą korektę opartą na pomiarze:

[ T_{\text{new}}\approx T_{\text{old}}\times\frac{f_{\text{measured}}}{f_{\text{target}}} ]

Załóżmy na przykład, że hipotetyczny pomiar wskazuje szczyt przy 435 Hz dla opóźnienia 2,30 ms, a częstotliwość docelowa to 440 Hz. Skorygowana wartość początkowa wynosi \(2.30\times435/440\approx2.274\) ms. To przykład obliczeniowy, a nie wynik pomiaru konkretnego produktu. Po wprowadzeniu poprawki wykonaj kolejny test. Jeśli urządzenie używa przesunięć nutowych, dostosuj jego regulator precyzyjnego strojenia, kierując się zmierzoną częstotliwością szczytu.

Procesor może zawierać coś więcej niż opóźnienie i wzmocnienie sprzężenia zwrotnego. Dokumentacja C15 firmy Nonlinear Labs opisuje filtr all-pass i filtr dolnoprzepustowy w gałęzi sprzężenia zwrotnego filtra grzebieniowego. Filtr all-pass zmienia fazę zależnie od częstotliwości, co działa jak dodatkowe opóźnienie zależne od częstotliwości. Instrukcja C15: filtr grzebieniowy

Dlatego w bardziej złożonym rezonatorze wzór na odwrotność czasu opóźnienia stanowi punkt wyjścia. Najpierw ustaw proste strojenie, następnie dodaj wybraną dyspersję i ponownie wykonaj pomiar. Jeśli szczyty nie tworzą już szeregu całkowitych wielokrotności, wybierz rezonans, który ma pozostać zakotwiczony na danym dźwięku, zamiast próbować dopasować wszystkie szczyty.

Tłumienie zmienia również proporcje w zanikającym ogonie. W opisanym przez Smitha modelu ze sprzężeniem zwrotnym przez filtr dolnoprzepustowy wysokie częstotliwości zanikają szybciej niż niskie. „Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym przez filtr dolnoprzepustowy”

Ustaw końcowe tłumienie i sprzężenie zwrotne przed ostatnią kontrolą strojenia. Jeśli odstępy między składowymi są celowo nierówne, opisz ustawienie jako wybrany rezonans zakotwiczony na danym dźwięku; całe widmo może już nie tworzyć szeregu harmonicznego tego dźwięku.

Gdy sygnał testowy pokazuje oczekiwane szczyty, przywróć właściwe źródło i zdiagnozuj pozostały problem na podstawie obserwacji.

Obserwacja	Co sprawdzić dalej
Słyszana wysokość dźwięku jest o oktawę niższa	Sprawdź ponownie polaryzację sprzężenia zwrotnego i najniższy rezonans.
Układ rezonansów zmienia się podczas odtwarzania	Sprawdź modulację opóźnienia, obwiednie wysokości dźwięku, automatyzację i śledzenie klawiatury.
Przy szumie strojenie jest widoczne, ale źródło prawie nie wybrzmiewa	Sprawdź, czy źródło dostarcza energię w pobliżu oczekiwanych rezonansów.
Strojenie zmienia się po korekcie barwy	Sprawdź ponownie filtry w torze sprzężenia zwrotnego i dyspersję.
Zmiana opóźnienia przeskakuje z jednej strony docelowej częstotliwości na drugą	Sprawdź rozdzielczość parametrów i obsługę ułamkowego opóźnienia.

Kontrola energii źródła wynika ze zwykłego działania filtrów: liniowy filtr grzebieniowy kształtuje częstotliwości obecne na jego wejściu. Ubogo brzmiący sygnał wejściowy może ujawnić tylko część jego charakterystyki. Szczególnie przydatne jest tu zalecenie Cycling ’74, by używać źródeł z wieloma składowymi. Samouczek MSP Delay 6: filtr grzebieniowy

Na koniec sprawdź routing i zapisz razem dźwięk, częstotliwość odniesienia, polaryzację sprzężenia zwrotnego, czas opóźnienia oraz odpowiednie ustawienia barwy. Zweryfikowane strojenie statyczne obejmuje niezmienny stan regulatorów i układ rezonansów zgodny z wybranym celem. Oblicz czas opóźnienia, sprawdź kilka szczytów i wprowadź końcową poprawkę przy właściwym dźwięku i ustawieniach toru sprzężenia zwrotnego.

• „Comb Filters” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing
• „MSP Delay Tutorial 6: Comb Filter” — dokumentacja Cycling ’74
• „Filter” — Native Instruments, instrukcja Massive X
• „Numery nut MIDI i częstotliwości podstawowe” — Inspired Acoustics
• „Delay-Line and Signal Interpolation” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing
• „Comb Filter” — Nonlinear Labs, instrukcja C15
• „Lowpass-Feedback Comb Filter” — Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing