Een rechte afgeknotte papieren kegel maken met horizontale doorsneden

Een horizontale doorsnede is een snede evenwijdig aan de onderste rand. Bij een rechte cirkelvormige afgeknotte kegel verandert de straal lineair met de hoogte. Daarom moet de diameter bij gelijke hoogte-intervallen telkens evenveel veranderen. Dit volgt uit de relatie tussen straal en hoogte die wordt beschreven in ‘Conical Frustum’ van Wolfram MathWorld.

Noteer eerst de hoogte van elke doorsnede boven de onderkant en de diameter ervan. Gebruik steeds dezelfde eenheden en meet de hoogte verticaal langs de as, niet langs de schuine zijde.

Hieronder staat de reeks voorbeelddoorsneden die in deze handleiding wordt gebruikt:

Hoogte boven onderkant	Diameter van doorsnede	Straal van doorsnede
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52,5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37,5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

Bij elke stijging van 10 mm neemt de diameter met 15 mm af. Deze doorsneden beschrijven dus een rechte taps toelopende vorm. Zijn de afstanden tussen uw doorsneden niet gelijk, vergelijk dan de diameterverandering per millimeter hoogte. Die verhoudingen moeten gelijk zijn voor één rechte kegel.

De middelpunten van de doorsneden moeten bovendien op één verticale as liggen. Als de middelpunten zijwaarts verschuiven of de diameter niet overal in hetzelfde tempo verandert, geeft de onderstaande uitslag met concentrische bogen de opgegeven vorm niet weer. Los die verschillen op voordat u de definitieve uitslag tekent.

Verzamel voor het eerste model papier dat gemakkelijk oprolt, een potlood, liniaal, passer, gradenboog, schaar en papierlijm of dubbelzijdige tape. Gebruik een vel dat groot genoeg is voor de volledige uitslag en de verbindingslip. Met een proef op kladpapier kunt u de indeling controleren voordat u het gewenste afwerkingsmateriaal gebruikt.

Bepaal de volgende afmetingen:

• R: de straal van de grotere, onderste opening.
• r: de straal van de kleinere, bovenste opening.
• h: de verticale afstand tussen die openingen.

Voor het voorbeeld geldt R = 60 mm, r = 30 mm en h = 40 mm. Dit zijn ideale afmetingen van het oppervlak: bij de berekening wordt de papierdikte verwaarloosd. Als de afgewerkte mantel nauw om een ander voorwerp moet passen, test dan met het daadwerkelijke papier en pas de passing aan voordat u de definitieve versie maakt.

Teken een zijaanzicht op ware grootte: een gecentreerd trapezium met een onderrand van 120 mm, een bovenrand van 60 mm en 40 mm daartussen. Verleng beide schuine zijden naar boven tot ze elkaar raken. Dat snijpunt is de top van de ontbrekende kegel. Ook in de constructieles ‘Frustum of a Cone’ van Brian Coey begint de tekening met een aanzicht waarin de top is opgenomen.

De afstand langs de schuine zijde is groter dan de verticale hoogte. Noem deze schuine afstand s. Voor een rechte cirkelvormige afgeknotte kegel geldt s = √[h² + (R − r)²], zoals beschreven in de geometrie van afgeknotte kegels van Wolfram MathWorld.

Voor het voorbeeld:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

De uitslag heeft twee stralen nodig die vanuit hetzelfde middelpunt O worden gemeten. Dit zijn afstanden vanaf de oorspronkelijke top langs het oppervlak van de kegel, niet de stralen van de cirkelvormige openingen. Noem de grotere straal van de uitslag L en de kleinere l.

Volgens de gelijkvormigheid van driehoeken geldt L/l = R/r. Het verschil tussen beide is de schuine afstand van de afgeknotte kegel, dus L − l = s. Uit deze twee relaties volgt:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

Voor het voorbeeld is dus L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm en l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. Het verschil van 50 mm komt overeen met de berekende schuine afstand.

Bereken vervolgens de hoek van de behouden sector, θ:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

Met deze hoek is de buitenboog van de uitslag even lang als de omtrek van de onderkant. In de oorspronkelijke les ‘Development of a Right Circular Cone’ van NPTEL wordt dezelfde sectorconstructie op basis van de omtrek gegeven. Door de sector van de kleine kegel weg te laten, ontstaat de uitslag van de afgeknotte kegel.

Voor dit voorbeeld geldt θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. Behoud het deel van de ring van 216°. De ontbrekende wig is 360° − 216° = 144°. Zet beide waarden op uw tekening, zodat u niet per ongeluk de kleinere wig behoudt.

De tussendoor-sneden leveren handige hulplijnen voor de uitlijning. Op hoogte z boven de onderkant is de straal van de doorsnede:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

Met dezelfde verhouding als bij de berekening van de randen vindt u de bijbehorende afstand vanaf middelpunt O op de uitslag:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

De volgende waarden zijn berekend met de voorbeeldafmetingen. Ze geven aan waar elke horizontale doorsnede op het vlakke vel komt:

Hoogte boven onderkant	Diameter van de afgewerkte doorsnede	Straal van de boog op de uitslag, gemeten vanaf O
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87,5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62,5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Teken de tussenbogen licht op 87,5, 75 en 62,5 mm vanaf O. Na het in elkaar zetten geven ze de horizontale hoogten van 10, 20 en 30 mm boven de onderkant aan. Laat dit potloodhulplijnen; als u ze uitknipt, verdeelt u de mantel in losse banden.

Een verticaal interval van 10 mm wordt op de vlakke uitslag een interval van 12,5 mm in radiale richting. Daarom leidt het rechtstreeks overzetten van de verticale afstanden tussen doorsneden op het schuine oppervlak tot een onjuiste hoogte.

Gebruik de berekende hoek om de exacte sector te tekenen, in plaats van de lengte ervan te schatten met herhaalde passerstappen. Coeys ‘Radial Line Pattern Development’ legt uit welke omtrek nodig is en merkt op dat de stap-voor-stapmethode onnauwkeurigheden oplevert.

1. Markeer middelpunt O met voldoende ruimte eromheen voor een straal van 100 mm.
2. Teken concentrische cirkels of bogen met een straal van 100 mm en 50 mm.
3. Teken twee radiale grenslijnen die de behouden sector van 216° omsluiten. Gebruik een gradenboog van 180° om de aanvullende wig van 144° uit te zetten en markeer die voor verwijdering.
4. Voeg de drie tussenbogen uit de tabel toe.
5. Behoud het ringvormige gebied tussen de bogen van 50 mm en 100 mm binnen de behouden sector.
6. Voeg buiten een van de radiale grenzen een verbindingslip toe. Voor dit proefmodel is een lip van ongeveer 8 mm een praktisch uitgangspunt; deze maat maakt geen deel uit van de geometrische berekening.
7. Knip de buitenboog, binnenboog, tegenoverliggende radiale rand en de omtrek van de lip uit.

Houd de oorspronkelijke radiale grenslijn zichtbaar waar de lip op de uitslag aansluit. Dit is de uitlijnlijn van de naad. Knip de uiteinden van de lip iets terug vanaf beide randbogen, zodat de lip niet buiten de afgewerkte openingen uitsteekt.

De twee concentrische bogen zijn essentieel: ook Coeys constructie van de afgeknotte kegel gebruikt de grote en kleine schuine lengten vanuit een gemeenschappelijk middelpunt. Een trapezium dat rechtstreeks uit het zijaanzicht wordt overgenomen, is niet het ontwikkelde oppervlak.

Buig het papier voorzichtig over de breedte van de sector en geef het geleidelijk een ronding. Maak geen vouw in het hoofdoppervlak: de afgewerkte mantel moet rondom gebogen zijn, maar langs elke schuine lijn van rand tot rand recht blijven.

Leg de radiale rand zonder lip op de uitlijnlijn aan de basis van de lip. Plaats de lip onder de tegenoverliggende rand. Zet de naad tijdelijk vast en controleer vervolgens of de uiteinden van de binnen- en buitenboog op elkaar aansluiten en of elke tussenlijn voor de doorsneden doorloopt over de naad.

Laat het hoofdgedeelte van de uitslag niet voorbij de uitlijnlijn overlappen om de naad strakker te laten lijken. De behouden sector bevat al de benodigde omtrek; extra overlap verkleint de openingen. Breng alleen lijm op de lip aan, lijn de naad opnieuw uit en houd deze vast volgens de aanwijzingen bij de lijm.

Voor dit uitgewerkte voorbeeld is de berekende lengte van de buitenboog ongeveer 376,99 mm, gelijk aan π × 120 mm. De binnenboog is ongeveer 188,50 mm, gelijk aan π × 60 mm. Deze berekende controles bevestigen de afmetingen van de uitslag; het zijn geen metingen aan een afgewerkt model.

Zet de grotere rand op een vlak oppervlak en controleer de loodrechte hoogte tot de kleinere rand. Voor het voorbeeld moet die hoogte ongeveer 40 mm zijn, terwijl de afstand langs het schuine oppervlak ongeveer 50 mm moet zijn. Meet elke opening door het middelpunt in meer dan één richting om te controleren of deze cirkelvormig is.

Wat u ziet	Wat u vervolgens controleert
Beide openingen zijn te klein	Controleer of u de juiste sectorhoek hebt behouden en kijk of de naad te ver overlapt.
Beide openingen zijn te groot	Controleer of er een kier in de naad zit of dat de behouden sectorhoek te groot is.
De schuine afstand klopt, maar de verticale hoogte niet	Controleer opnieuw beide openingsdiameters en of de randen parallel lopen.
De lijnen van de doorsneden sluiten niet aan bij de naad	Controleer of de radiale randen uitgelijnd zijn zonder in de lengterichting te verschuiven.
De mantel heeft hoeken of vlakke panelen	Controleer of het papier langs constructielijnen is gevouwen.

Als R gelijk is aan r, is de vorm een cilinder en delen deze formules door nul; gebruik dan een rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan de omtrek en de breedte aan de hoogte. Als r gelijk is aan nul, verdwijnt de kleinere opening en wordt de uitslag een sector van een volledige kegel. Bij een zeer geringe tapsheid is R − r klein en ligt het middelpunt van de uitslag ver weg, waardoor het uitzetten met een passer lastig wordt. De les over radiale lijnen van BCcampus noemt een redelijk bereikbaar middelpunt als praktische voorwaarde voor deze constructiemethode.

Een geslaagd model begint met consistente horizontale doorsneden, gebruikt schuine afstanden voor de uitslag en sluit bij de gemarkeerde naad. Bewaar de reeks doorsneden samen met de afmetingen van de uitslag, zodat u de kegel opnieuw kunt maken of de maat kunt wijzigen zonder de geometrie opnieuw te hoeven bepalen.

• Frustum of a Cone — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Radial Line Pattern Development — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Lecture 36: Development of Surfaces of Truncated Solids — Development of a Right Circular Cone, NPTEL
• Conical Frustum — Wolfram MathWorld