Jak zbudować prosty ścięty stożek z papieru na podstawie poziomych przekrojów

Przekrój poziomy to cięcie równoległe do dolnej krawędzi. W przypadku ściętego stożka kołowego prostego promień zmienia się liniowo wraz z wysokością. W związku z tym przekroje w równych odstępach wysokości muszą wykazywać jednakowe zmiany średnicy. Wynika to z zależności promienia od wysokości opisanej w artykule Wolfram MathWorld „Ścięty stożek kołowy”.

Zacznij od zapisania wysokości każdego przekroju nad podstawą oraz jego średnicy. Zachowaj spójne jednostki i mierz wysokość pionowo wzdłuż osi, a nie po ukośnej powierzchni.

Oto przykładowy zestaw przekrojów używany w całym poradniku:

Wysokość nad podstawą	Średnica przekroju	Promień przekroju
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52,5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37,5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

Przy każdym wzroście wysokości o 10 mm średnica zmniejsza się o 15 mm, więc te przekroje opisują prosty stożek. Jeśli odstępy między przekrojami są nierówne, porównaj zmianę średnicy przypadającą na milimetr wysokości. Wartości te muszą być jednakowe dla jednego prostego stożka.

Środki przekrojów muszą również leżeć na jednej pionowej osi. Jeśli środki przesuwają się na boki lub średnica zmienia się w różnym tempie, prosty wykrój ze współśrodkowymi łukami przedstawiony poniżej nie odtworzy podanego kształtu. Przed narysowaniem ostatecznego wykroju uwzględnij te różnice.

Do wykonania pierwszego modelu przygotuj papier, który łatwo się zwija, ołówek, linijkę, cyrkiel, kątomierz, nożyczki oraz klej do papieru lub taśmę dwustronną. Wybierz arkusz wystarczająco duży, by pomieścił cały wykrój i zakładkę do łączenia. Próba na skrawku papieru pomoże sprawdzić układ przed użyciem docelowego materiału.

Określ następujące wymiary:

• R: promień większego, dolnego otworu.
• r: promień mniejszego, górnego otworu.
• h: pionowa odległość między tymi otworami.

W przykładzie R = 60 mm, r = 30 mm, a h = 40 mm. Są to wymiary idealnej powierzchni: w obliczeniach pomija się grubość papieru. Jeśli gotowa powłoka ma dokładnie pasować do innego przedmiotu, sprawdź dopasowanie z użyciem właściwego papieru i skoryguj je przed wykonaniem wersji ostatecznej.

Narysuj elewację boczną w skali 1:1: wyśrodkowany trapez z dolną krawędzią długości 120 mm, górną krawędzią długości 60 mm i odstępem 40 mm między nimi. Przedłuż obie ukośne krawędzie w górę, aż się przetną. Punkt przecięcia to wierzchołek brakującego stożka. Narysowanie elewacji z wierzchołkiem jest także punktem wyjścia w lekcji Briana Coeya „Ścięty stożek”.

Odległość wzdłuż ukośnej krawędzi jest większa niż wysokość pionowa. Oznaczmy tę długość tworzącej jako s. Dla ściętego stożka kołowego prostego s = √[h² + (R − r)²], jak opisano w geometrii ściętego stożka w Wolfram MathWorld.

Dla przykładu:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

Wykrój wymaga dwóch promieni mierzonych od wspólnego środka O. Są to odległości od pierwotnego wierzchołka wzdłuż powierzchni stożka — nie promienie jego okrągłych otworów. Większy promień wykroju oznaczmy przez L, a mniejszy przez l.

Z podobieństwa trójkątów wynika, że L/l = R/r. Ich różnica równa się długości tworzącej ściętego stożka, zatem L − l = s. Rozwiązanie tych dwóch zależności daje:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

Dlatego w przykładzie L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm, a l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. Różnica 50 mm odpowiada obliczonej długości tworzącej.

Następnie oblicz kąt wycinka, który pozostaje, θ:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

Dzięki temu długość zewnętrznego łuku wykroju jest równa obwodowi dolnego otworu. W oryginalnej lekcji NPTEL „Rozwinięcie powierzchni stożka kołowego prostego” pokazano tę samą konstrukcję wycinka opartą na obwodzie. Usunięcie wycinka małego stożka pozostawia wykrój ściętego stożka.

W tym przykładzie θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. Pozostaw część pierścienia o kącie 216°. Brakujący wycinek ma kąt 360° − 216° = 144°. Zaznacz na rysunku obie wartości, aby przypadkowo nie pozostawić mniejszego wycinka.

Przekroje pośrednie wyznaczają przydatne linie dopasowania. Na wysokości z nad podstawą promień przekroju wynosi:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

Korzystając z tego samego współczynnika podobieństwa co przy obliczeniach dla krawędzi, odpowiadająca mu odległość od środka wykroju O wynosi:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

Poniższe wartości obliczono na podstawie wymiarów z przykładu. Określają one, gdzie na płaskim arkuszu znajdzie się każdy poziomy przekrój:

Wysokość nad podstawą	Średnica gotowego przekroju	Promień łuku wykroju od O
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87,5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62,5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Lekko zaznacz łuki pośrednie w odległości 87,5, 75 i 62,5 mm od O. Po złożeniu będą odpowiadać poziomom położonym 10, 20 i 30 mm nad podstawą. Pozostaw je jako pomocnicze linie ołówka; ich wycięcie podzieliłoby powłokę na osobne pasy.

Zwróć uwagę, że pionowy odstęp 10 mm odpowiada odstępowi 12,5 mm w kierunku promieniowym na płaskim wykroju. Dlatego bezpośrednie przeniesienie pionowych odstępów między przekrojami na ukośną powierzchnię daje niewłaściwą wysokość.

Użyj obliczonego kąta, aby narysować dokładny wycinek, zamiast szacować jego długość za pomocą kolejnych odłożeń cyrklem. W opracowaniu Coeya „Rozwijanie wykrojów metodą promieniową” wyjaśniono wymagania dotyczące obwodu i zwrócono uwagę, że metody oparte na odkładaniu odcinków mają ograniczoną dokładność.

1. Zaznacz środek O, pozostawiając wokół niego dość miejsca na promień 100 mm.
2. Narysuj współśrodkowe okręgi lub łuki o promieniu 100 mm i 50 mm.
3. Narysuj dwie promieniowe krawędzie ograniczające pozostawiany wycinek o kącie 216°. Za pomocą kątomierza z podziałką do 180° wyznacz uzupełniający wycinek o kącie 144° i oznacz go do usunięcia.
4. Dodaj trzy pośrednie łuki przekrojów z tabeli.
5. W pozostawianym wycinku zachowaj obszar pierścienia między łukami o promieniach 50 mm i 100 mm.
6. Poza jedną z promieniowych krawędzi dodaj zakładkę do łączenia. W modelu próbnym szerokość około 8 mm to praktyczny punkt wyjścia, a nie element obliczeń geometrycznych.
7. Wytnij wzdłuż zewnętrznego i wewnętrznego łuku, przeciwległej krawędzi promieniowej oraz obrysu zakładki.

Zachowaj widoczną pierwotną krawędź promieniową w miejscu połączenia zakładki z wykrojem. To linia wyrównania szwu. Przytnij końce zakładki tak, by lekko cofały się względem obu łuków brzegowych; dzięki temu zakładka nie będzie wystawać poza gotowe otwory.

Dwa współśrodkowe łuki są niezbędne: w konstrukcji ściętego stożka Coey również wykorzystuje duże i małe długości tworzącej mierzone od wspólnego punktu. Trapez skopiowany bezpośrednio z elewacji bocznej nie jest rozwiniętą powierzchnią.

Delikatnie zakrzyw papier, rolując go na szerokości wycinka i nadając mu łagodny łuk. Unikaj zaginania głównej powierzchni: gotowa powłoka powinna zakrzywiać się wokół obwodu, zachowując prostą linię wzdłuż każdej ukośnej krawędzi biegnącej od jednej krawędzi otworu do drugiej.

Dopasuj nieposmarowaną klejem krawędź promieniową do linii wyrównania u podstawy zakładki. Umieść zakładkę pod przeciwległą krawędzią. Tymczasowo zabezpiecz szew, a następnie sprawdź, czy końce wewnętrznego i zewnętrznego łuku się stykają oraz czy każda pośrednia linia przekroju przechodzi przez łączenie.

Nie nakładaj głównego wykroju poza linię wyrównania, aby szew wyglądał na ciaśniejszy. Pozostawiony wycinek już ma wymagany obwód; dodatkowe nałożenie zmniejsza wymiary otworów. Nałóż klej wyłącznie na zakładkę, ponownie wyrównaj szew i przytrzymaj go zgodnie z instrukcją kleju.

W tym przykładzie obliczona długość zewnętrznego łuku wynosi około 376,99 mm, co odpowiada π × 120 mm. Wewnętrzny łuk ma około 188,50 mm, co odpowiada π × 60 mm. Te obliczeniowe wartości kontrolne potwierdzają wymiary wykroju; nie są pomiarami gotowego modelu.

Postaw większą krawędź na płaskiej powierzchni i sprawdź prostopadłą wysokość do mniejszej krawędzi. W przykładzie powinna wynosić około 40 mm, a odległość wzdłuż ukośnej powierzchni około 50 mm. Zmierz każdy otwór przez jego środek w kilku kierunkach, aby sprawdzić, czy jest okrągły.

Obserwacja	Co sprawdzić
Oba otwory są zbyt małe	Sprawdź pozostawiony kąt i upewnij się, że szew nie zachodzi na siebie zbyt mocno.
Oba otwory są zbyt duże	Sprawdź, czy na szwie nie ma szczeliny lub czy pozostawiony wycinek nie jest zbyt duży.
Długość ukośna jest prawidłowa, ale wysokość pionowa nie	Sprawdź ponownie średnice obu otworów i to, czy ich krawędzie są równoległe.
Linie przekrojów nie spotykają się na szwie	Sprawdź, czy krawędzie promieniowe są wyrównane i nie przesuwają się wzdłużnie.
Powłoka ma narożniki lub płaskie ścianki	Sprawdź, czy papier nie został zagięty wzdłuż linii konstrukcyjnych.

Jeśli R jest równe r, kształt jest walcem, a w tych wzorach występuje dzielenie przez zero; użyj prostokąta, którego długość odpowiada obwodowi, a szerokość wysokości. Jeśli r jest równe zeru, mniejszy otwór znika, a wykrój staje się wycinkiem pełnego stożka. Przy bardzo niewielkim zwężeniu różnica R − r jest mała, a środek wykroju znajduje się daleko, co utrudnia ręczne kreślenie cyrklem. W lekcji BCcampus dotyczącej metody promieniowej wskazano, że praktycznym warunkiem zastosowania tej metody jest w miarę łatwo dostępny punkt wyznaczający promień.

Udana konstrukcja zaczyna się od spójnych przekrojów poziomych, wykorzystuje długości tworzącej do wykonania płaskiego wykroju i zamyka się na zaznaczonym szwie. Zachowaj razem zestawienie przekrojów i wymiary wykroju, aby móc odtworzyć stożek lub zmienić jego rozmiar bez ponownego wyprowadzania geometrii.

• Ścięty stożek — rozwijanie wykrojów: blacharstwo, poziom 1, Brian Coey
• Rozwijanie wykrojów metodą promieniową — rozwijanie wykrojów: blacharstwo, poziom 1, Brian Coey
• Wykład 36: Rozwijanie powierzchni brył ściętych — rozwinięcie powierzchni stożka kołowego prostego, NPTEL
• Ścięty stożek kołowy — Wolfram MathWorld