Så bygger du en rak stympad papperskon av horisontella sektioner

En horisontell sektion är ett snitt parallellt med den nedre kanten. För en rak cirkulär konstymp ändras radien linjärt med höjden. Därför måste sektioner med lika stora höjdintervall ha lika stora diameterförändringar. Detta följer av sambandet mellan radie och höjd som anges i Wolfram MathWorlds ”Conical Frustum”.

Börja med att anteckna varje sektions höjd ovanför botten och dess diameter. Använd samma måttenhet och mät höjden vertikalt längs axeln, inte längs den sluttande sidan.

Här är sektionstabellen som används som exempel genom hela guiden:

Höjd över botten	Sektionsdiameter	Sektionsradie
0 mm	120 mm	60 mm
10 mm	105 mm	52,5 mm
20 mm	90 mm	45 mm
30 mm	75 mm	37,5 mm
40 mm	60 mm	30 mm

Varje höjdökning på 10 mm minskar diametern med 15 mm, så de här sektionerna beskriver en rak avsmalning. Om dina sektioner har ojämna avstånd jämför du i stället diameterförändringen per millimeter höjd. För en enda rak kon måste dessa förändringstakter vara lika.

Sektionernas centrum måste också ligga på samma vertikala axel. Om centrumen förskjuts i sidled eller om diametern ändras i olika takt kommer det enkla mönstret med koncentriska bågar nedan inte att återskapa den angivna formen. Åtgärda skillnaderna innan du ritar det slutliga mönstret.

För den första modellen behöver du papper som går lätt att rulla, en blyertspenna, linjal, passare, gradskiva, sax och papperslim eller dubbelhäftande tejp. Använd ett ark som är tillräckligt stort för hela mönstret och skarvfliken. Ett prov på skrotpapper hjälper dig att kontrollera upplägget innan du använder det papper du valt för den färdiga modellen.

Fastställ följande mått:

• R: radien för den större, nedre öppningen.
• r: radien för den mindre, övre öppningen.
• h: det vertikala avståndet mellan öppningarna.

I exemplet är R = 60 mm, r = 30 mm och h = 40 mm. Det här är idealiska yttermått: beräkningen bortser från papperstjockleken. Om det färdiga skalet ska passa tätt runt ett annat föremål bör du prova med det faktiska papperet och justera passformen innan du gör den slutliga versionen.

Rita en sidovy i full skala: en centrerad trapets med en nedre kant på 120 mm, en övre kant på 60 mm och 40 mm mellan kanterna. Förläng de båda sluttande sidorna uppåt tills de möts. Skärningspunkten är den saknade konens spets. Att rita sidovyn med spetsen är också utgångspunkten i Brian Coeys konstruktionslektion ”Frustum of a Cone”.

Avståndet längs den sluttande sidan är större än den vertikala höjden. Kalla detta sneda avstånd s. För en rak cirkulär konstymp är s = √[h² + (R − r)²], enligt Wolfram MathWorlds geometri för konstumpar.

För exemplet:

s = √[40² + (60 − 30)²] = √2500 = 50 mm.

Mönstret behöver två radier som mäts från ett gemensamt centrum, O. Dessa är avstånd från den ursprungliga spetsen längs konens yta – inte radierna för dess cirkulära öppningar. Kalla den större mönsterradien L och den mindre l.

Enligt likformiga trianglar gäller L/l = R/r. Skillnaden mellan dem är konstumpelementets sneda avstånd, alltså L − l = s. Om du löser dessa två samband får du:

• L = R × s ÷ (R − r)
• l = r × s ÷ (R − r)

Exemplet behöver därför L = 60 × 50 ÷ 30 = 100 mm och l = 30 × 50 ÷ 30 = 50 mm. Skillnaden på 50 mm motsvarar det beräknade sneda avståndet.

Beräkna sedan den sektorvinkel som ska behållas, θ:

θ = 360° × R ÷ L = 360° × (R − r) ÷ s.

Den här vinkeln gör att den yttre mönsterbågen blir lika lång som bottenomkretsen. NPTEL:s ursprungliga lektion ”Development of a Right Circular Cone” beskriver samma sektorutveckling utifrån omkretsen. När den lilla konens sektor tas bort återstår mönstret för konstumpelementet.

I det här exemplet är θ = 360° × 60 ÷ 100 = 216°. Behåll ringsektorn på 216°. Den kil som saknas är 360° − 216° = 144°. Märk ut båda värdena på ritningen så att du inte råkar behålla den mindre kilen.

Dina mellanliggande sektioner ger användbara passlinjer. Vid höjden z över botten är sektionsradien:

a(z) = R − (R − r) × z ÷ h.

Med samma likformighetsförhållande som för kanterna blir motsvarande avstånd från mönstrets centrum O:

ρ(z) = a(z) × s ÷ (R − r).

Följande värden har beräknats utifrån exempelmåtten. De anger var varje horisontell sektion hamnar på det plana arket:

Höjd över botten	Färdig sektionsdiameter	Mönsterbågens radie från O
0 mm	120 mm	100 mm
10 mm	105 mm	87,5 mm
20 mm	90 mm	75 mm
30 mm	75 mm	62,5 mm
40 mm	60 mm	50 mm

Rita mellanbågarna lätt vid 87,5, 75 och 62,5 mm från O. Efter monteringen motsvarar de höjderna 10, 20 respektive 30 mm ovanför botten. Låt dem vara blyertslinjer; om du skär längs dem delas skalet i separata band.

Lägg märke till att ett vertikalt intervall på 10 mm blir ett intervall på 12,5 mm i det plana mönstrets radiella riktning. Därför ger det fel höjd om du överför de vertikala sektionsavstånden direkt till den sluttande ytan.

Använd den beräknade vinkeln för att rita sektorn exakt i stället för att uppskatta dess längd med upprepade steg med passaren. Coeys ”Radial Line Pattern Development” förklarar kravet på omkrets och påpekar att metoder med upprepade steg har begränsad noggrannhet.

1. Markera centrum O med tillräckligt mycket utrymme runtom för en radie på 100 mm.
2. Rita koncentriska cirklar eller bågar med radierna 100 mm och 50 mm.
3. Rita två radiella begränsningslinjer som omsluter sektorn på 216° som ska behållas. Använd en 180°-gradskiva för att markera den kompletterande kilen på 144° och märk ut den för borttagning.
4. Lägg till de tre mellanliggande sektionsbågarna från tabellen.
5. Behåll den ringformade ytan mellan bågarna på 50 mm och 100 mm inom den sektor som ska vara kvar.
6. Lägg till en skarvflik utanför en av de radiella begränsningslinjerna. För den här provmodellen är en flik på cirka 8 mm ett praktiskt utgångsmått, inte en del av den geometriska beräkningen.
7. Klipp ut den yttre bågen, den inre bågen, den motsatta radiella kanten och flikens kontur.

Låt den ursprungliga radiella begränsningslinjen vara synlig där fliken möter mönstret. Det är passlinjen för skarven. Klipp tillbaka flikens ändar en aning från båda kantbågarna så att fliken inte sticker ut förbi de färdiga öppningarna.

De två koncentriska bågarna är nödvändiga: Coeys konstumpekonstruktion använder på samma sätt stora och små sneda längder från en gemensam radiepunkt. En trapets som kopieras direkt från sidovyn är inte den utvecklade ytan.

Böj försiktigt papperet över sektorns bredd så att det får en jämn kurva. Undvik att vika huvudytan: det färdiga skalet ska böja sig runt omkretsen men förbli rakt längs varje sluttande linje från kant till kant.

För den radiella kanten utan flik mot passlinjen vid flikens bas. Lägg fliken under den motsatta kanten. Fäst skarven tillfälligt och kontrollera sedan att ändpunkterna på den inre och yttre bågen möts och att varje mellanliggande sektionslinje fortsätter över skarven.

Låt inte huvudmönstret överlappa förbi passlinjen för att få skarven att se tätare ut. Den sektor som behålls har redan rätt omkrets; ytterligare överlappning minskar öppningarnas storlek. Stryk lim endast på fliken, passa in skarven igen och håll den på plats enligt limmets anvisningar.

I det här exemplet är den beräknade längden på den yttre bågen cirka 376,99 mm, vilket motsvarar π × 120 mm. Den inre bågen är cirka 188,50 mm, vilket motsvarar π × 60 mm. Dessa beräknade kontroller bekräftar mönstrets mått; de är inte mätningar av en färdig modell.

Ställ den större kanten på en plan yta och kontrollera den vinkelräta höjden till den mindre kanten. I exemplet ska höjden vara ungefär 40 mm, medan avståndet längs den sluttande ytan ska vara ungefär 50 mm. Mät varje öppning genom dess centrum i mer än en riktning för att kontrollera om den är cirkulär.

Vad du ser	Kontrollera härnäst
Båda öppningarna är för små	Kontrollera sektorn som behållits och se om skarven överlappar för mycket.
Båda öppningarna är för stora	Kontrollera om det finns en glipa i skarven eller om sektorn som behållits är för stor.
Det sneda avståndet är rätt men den vertikala höjden är fel	Kontrollera båda öppningarnas diametrar och om kanterna är parallella.
Sektionslinjerna möts inte vid skarven	Kontrollera att de radiella kanterna är inpassade utan att glida i längdriktningen.
Skalet har hörn eller plana paneler	Kontrollera om papperet har vikts längs konstruktionslinjerna.

Om R är lika med r är formen en cylinder och de här formlerna innebär division med noll. Använd då en rektangel vars längd motsvarar omkretsen och vars bredd motsvarar höjden. Om r är noll försvinner den mindre öppningen och mönstret blir en hel konsektor. Vid mycket liten avsmalning blir R − r litet och mönstrets centrum hamnar långt bort, vilket gör manuell passarlayout besvärlig. BCcampus lektion om radiallinjer anger att en någorlunda lättillgänglig radiepunkt är en praktisk förutsättning för den här konstruktionsmetoden.

En lyckad modell börjar med konsekventa horisontella sektioner, använder sneda avstånd för det plana mönstret och sluts vid den markerade skarven. Förvara sektionstabellen tillsammans med mönstermåtten så att du kan återskapa konen eller ändra dess storlek utan att behöva göra om geometrin.

• Frustum of a Cone — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Radial Line Pattern Development — Pattern Development: Sheet Metal Level 1, Brian Coey
• Lecture 36: Development of Surfaces of Truncated Solids — Development of a Right Circular Cone, NPTEL
• Conical Frustum — Wolfram MathWorld